Tome dois vetores, z=[4,3] e y=[1,2]. Substitua o vetor [1,0] pelo vetor [1,2] e recalcule as coordenadas de [4,3] com relação à nova base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente substituir o vetor pelo vetor e recalcular as coordenadas do vetor nessa nova base. A matéria aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em relação a uma nova base de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a nova base. Originalmente, a base padrão é formada pelos vetores e . O exercício pede para substituir por , então nossa nova base será .

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor [4,3] = a cdot [1,2] + b cdot [0,1] como uma combinação linear dos vetores da nova base. Ou seja, encontrar números e tal que:

Passo 4

Vamos escrever isso em termos de componentes. Isso significa que:
1a + 0b = 4 2a + 1b = 3
Da primeira equação, fica claro que .

Passo 5

Com 2(4) + b = 3 8 + b = 3 b = 3 - 8 b = -5 , substituímos na segunda equação para encontrar :

Resposta

As coordenadas do vetor [4,3] = 4 cdot [1,2] + (-5) cdot [0,1] na nova base são e . Ou seja, pode ser escrito como:

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