Tome dois vetores,
e
. Substitua o vetor
pelo vetor
e recalcule as coordenadas de
com relação à nova base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente substituir o vetor
pelo vetor
e recalcular as coordenadas do vetor
nessa nova base. A matéria aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em relação a uma nova base de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a nova base. Originalmente, a base padrão é formada pelos vetores
e
. O exercício pede para substituir
por
, então nossa nova base será
.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da nova base. Ou seja, encontrar números
e
tal que:
Passo 4
Vamos escrever isso em termos de componentes. Isso significa que:
Da primeira equação, fica claro que
.
Passo 5
Com
, substituímos na segunda equação para encontrar
:
Resposta
As coordenadas do vetor
na nova base
são
e
. Ou seja,
pode ser escrito como: