Mostre que a função
dada por
é uma transformação linear. Determine as imagens dos vetores
e
. Verifique a propriedade
para esses vetores
e
específicos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra mostrar que a função
definida por
é uma transformação linear. Além disso, precisamos encontrar as imagens dos vetores
e
através dessa transformação. Por fim, vamos verificar se a propriedade
vale para esses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores em . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor em .
Se a função
cumprir essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz a aditividade e a homogeneidade.
Aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer
e
.
Calculamos
.
Por outro lado,
.
Vemos que os dois resultados são iguais, então a aditividade está satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar
e vetor
, temos:
Assim, a homogeneidade também é satisfeita.
Como ambas as propriedades são atendidas,
é uma transformação linear.
Passo 4
Agora, vamos determinar as imagens dos vetores
e
através da transformação
.
Para o vetor
:
Para o vetor
:
Passo 5
Por fim, vamos verificar a propriedade
para os vetores
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos
em
:
Já vimos que:
Os dois resultados são iguais, confirmando que
.
Resposta
A função
é uma transformação linear. As imagens dos vetores são
e
. Além disso, para esses vetores específicos, a propriedade
é verdadeira.