Mostre que a função T: R^2 longrightarrow R^3 dada por T(x, y)=(x+y, x, 3 y) é uma transformação linear. Determine as imagens dos vetores u=(2,-1) e v=(1,3). Verifique a propriedade
T(u+v)=T(u)+T(v)
para esses vetores u e v específicos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra mostrar que a função definida por é uma transformação linear. Além disso, precisamos encontrar as imagens dos vetores e através dessa transformação. Por fim, vamos verificar se a propriedade vale para esses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor em .
Se a função cumprir essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar se a função satisfaz a aditividade e a homogeneidade.
Aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer e .
Calculamos .
Por outro lado, .
Vemos que os dois resultados são iguais, então a aditividade está satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e vetor , temos:
.
Assim, a homogeneidade também é satisfeita.
Como ambas as propriedades são atendidas, é uma transformação linear.

Passo 4

Agora, vamos determinar as imagens dos vetores e através da transformação .
Para o vetor :
.
Para o vetor :
.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a propriedade para os vetores e .
Primeiro, calculamos :
.
Agora, aplicamos em :
.
Já vimos que:
.
Os dois resultados são iguais, confirmando que .

Resposta

A função é uma transformação linear. As imagens dos vetores são e . Além disso, para esses vetores específicos, a propriedade é verdadeira.

Exercícios relacionados