Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Se A é uma matriz quadrada, e se o sistema linear
tem uma única solução, então o sistema linear
também tem uma única solução.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está dizendo. Temos uma matriz quadrada
e dois sistemas lineares:
e
. A afirmação quer saber se, se o primeiro sistema
tem uma única solução, então o segundo sistema
também terá uma única solução. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada
ter uma única solução para o sistema linear
implica que
é uma matriz inversível. Isso porque, se existe uma única solução, significa que o determinante de
não é zero (
), o que garante que
tem uma matriz inversa
.
Passo 3
Se
é inversível, então para qualquer vetor
, o sistema
também terá uma única solução. Isso acontece porque podemos multiplicar ambos os lados da equação por
para isolar
:
Essa operação sempre produzirá uma solução única para
, já que
existe.
Passo 4
Portanto, se
tem uma única solução, isso garante que
é invertível, e assim qualquer outro sistema da forma
também terá uma única solução.
Resposta
A afirmação é verdadeira.