Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Se A é uma matriz quadrada, e se o sistema linear A X=B tem uma única solução, então o sistema linear A X=C também tem uma única solução.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está dizendo. Temos uma matriz quadrada e dois sistemas lineares: e . A afirmação quer saber se, se o primeiro sistema tem uma única solução, então o segundo sistema também terá uma única solução. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada ter uma única solução para o sistema linear implica que é uma matriz inversível. Isso porque, se existe uma única solução, significa que o determinante de não é zero ( ), o que garante que tem uma matriz inversa .

Passo 3

Se X = A^-1 C é inversível, então para qualquer vetor , o sistema também terá uma única solução. Isso acontece porque podemos multiplicar ambos os lados da equação por para isolar :
Essa operação sempre produzirá uma solução única para , já que existe.

Passo 4

Portanto, se tem uma única solução, isso garante que é invertível, e assim qualquer outro sistema da forma também terá uma única solução.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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