Sobre uma montanha, a elevação
acima de um ponto
um plano
ao nível do mar é dada por
metros. Considerando-se que o eixo
positivo aponta para o leste e que o eixo
positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas
, responda:
a) Se o escalador usar uma bússola para caminhar em direção a sudeste, ele começará a subir ou a descer?
b) Em qual direção e sentido ele deverá caminhar para ter maior elevação?
c) Qual a taxa máxima de elevação?
a) Se o escalador usar uma bússola para caminhar em direção a sudeste, ele começará a subir ou a descer?
b) Em qual direção e sentido ele deverá caminhar para ter maior elevação?
c) Qual a taxa máxima de elevação?
Passo 1
Vamos lá! Temos uma montanha cuja elevação é dada pela equação
em metros, onde
aponta para o leste e
para o norte. O escalador está no ponto
. Para resolver os itens a, b e c, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudarão a entender como a elevação varia em diferentes direções.
Passo 2
a) Se o escalador usar uma bússola para caminhar em direção a sudeste, ele começará a subir ou a descer?
Primeiro, precisamos entender o que significa caminhar em direção a sudeste no sistema de coordenadas dado:
- Eixo
positivo: leste - Eixo
positivo: norte
Sudeste é uma direção intermediária entre leste e sul, ou seja, possui componentes positivas em
e negativas em
. Podemos representar essa direção com um vetor unitário:
Agora, para determinar se o escalador vai subir ou descer nessa direção, calculamos a derivada direcional da função de elevação
na direção
. A derivada direcional é dada por:
Onde
é o gradiente de
, que nos indica a direção de maior aumento da função.
Primeiro, vamos calcular o gradiente
:
Então, no ponto
:
Agora, calculamos a derivada direcional:
Como a derivada direcional é positiva (
), isso indica que o escalador começará a subir ao caminhar em direção a sudeste.
Passo 3
b) Em qual direção e sentido ele deverá caminhar para ter maior elevação?
Para maximizar a elevação, o escalador deve seguir a direção do gradiente da função
, que aponta na direção de maior aumento da função. O gradiente já foi calculado:
Essa direção indica que:
-
unidades na direção leste ( positivo) -
unidades na direção sul ( negativo)
Para simplificar, podemos normalizar esse vetor para obter a direção unitária:
Então,
Isso significa que o escalador deve caminhar aproximadamente 0.894 na direção leste e -0.447 na direção sul para obter a maior elevação possível.
Passo 4
c) Qual a taxa máxima de elevação?
A taxa máxima de elevação é dada pela magnitude do gradiente
. Já calculamos o gradiente no ponto
:
Calculando a magnitude:
Resposta
a) O escalador começará a subir ao caminhar em direção a sudeste.
b) Ele deverá caminhar na direção do gradiente
, ou seja, aproximadamente 0.894 na direção leste e -0.447 na direção sul para obter a maior elevação.
c) A taxa máxima de elevação é aproximadamente 89,44 metros por unidade de distância.