Sobre uma montanha, a elevação z acima de um ponto (x, y) um plano x y ao nível do mar é dada por z=2000-2 x^2-4 y^2 metros. Considerando-se que o eixo x positivo aponta para o leste e que o eixo y positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas (-20,5,1100), responda:
a) Se o escalador usar uma bússola para caminhar em direção a sudeste, ele começará a subir ou a descer?
b) Em qual direção e sentido ele deverá caminhar para ter maior elevação?
c) Qual a taxa máxima de elevação?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma montanha cuja elevação é dada pela equação em metros, onde aponta para o leste e para o norte. O escalador está no ponto . Para resolver os itens a, b e c, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudarão a entender como a elevação varia em diferentes direções.

Passo 2

a) Se o escalador usar uma bússola para caminhar em direção a sudeste, ele começará a subir ou a descer?
Primeiro, precisamos entender o que significa caminhar em direção a sudeste no sistema de coordenadas dado:
  • Eixo u = (1raiz2, -1raiz2) positivo: leste
  • Eixo Du z = nabla z cdot u positivo: norte
Sudeste é uma direção intermediária entre leste e sul, ou seja, possui componentes positivas em partial zpartial x = -4x partial zpartial y = -8y e negativas em nabla z = ( -4(-20), -8(5) ) = (80, -40) . Podemos representar essa direção com um vetor unitário:
Du z = (80, -40) cdot (1raiz2, -1raiz2) Du z = 80 cdot 1raiz2 + (-40) cdot (-1raiz2) Du z = 80raiz2 + 40raiz2 Du z = 120raiz2 approx 84.85 , metros por unidade de distância
Agora, para determinar se o escalador vai subir ou descer nessa direção, calculamos a derivada direcional da função de elevação na direção . A derivada direcional é dada por:
Onde é o gradiente de , que nos indica a direção de maior aumento da função.
Primeiro, vamos calcular o gradiente :
Então, no ponto :
Agora, calculamos a derivada direcional:
â
Como a derivada direcional é positiva ( ), isso indica que o escalador começará a subir ao caminhar em direção a sudeste.

Passo 3

b) Em qual direção e sentido ele deverá caminhar para ter maior elevação?
Para maximizar a elevação, o escalador deve seguir a direção do gradiente da função nabla z = (80, -40) , que aponta na direção de maior aumento da função. O gradiente já foi calculado:
umáx = (80, -40)| (80, -40) | | (80, -40) | = raiz80^2 + (-40)^2 = raiz6400 + 1600 = raiz8000 approx 89.44
Essa direção indica que:
  • umáx = ( 8089.44, -4089.44 ) approx (0.894, -0.447) unidades na direção leste ( positivo)
  • unidades na direção sul ( negativo)
Para simplificar, podemos normalizar esse vetor para obter a direção unitária:
á
Então,
á
Isso significa que o escalador deve caminhar aproximadamente 0.894 na direção leste e -0.447 na direção sul para obter a maior elevação possível.

Passo 4

c) Qual a taxa máxima de elevação?
A taxa máxima de elevação é dada pela magnitude do gradiente nabla z = (80, -40) . Já calculamos o gradiente no ponto | nabla z | = raiz80^2 + (-40)^2 = raiz6400 + 1600 = raiz8000 approx 89.44 , metros por unidade de distância :
Calculando a magnitude:
â

Resposta

a) O escalador começará a subir ao caminhar em direção a sudeste.
b) Ele deverá caminhar na direção do gradiente , ou seja, aproximadamente 0.894 na direção leste e -0.447 na direção sul para obter a maior elevação.
c) A taxa máxima de elevação é aproximadamente 89,44 metros por unidade de distância.

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