Considere a base ordenada gamma=v1, v2, v3 de R^3, onde v1=(1,0,-1), v2=(1,1,1) e v3=(1,0,0). Encontre as coordenadas do vetor u=(a, b, c) in R^3 com relação à base ordenada gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A ideia aqui é achar as coordenadas do vetor v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1, 0, 0) em relação à base ordenada , onde:
O que precisamos para isso é entender como expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter as coordenadas de u = alpha v1 + beta v2 + gamma v3 em relação à base (a, b, c) = alpha(1, 0, -1) + beta(1, 1, 1) + gamma(1, 0, 0) . Queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
(a, b, c) = (alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot 1, alpha cdot 0 + beta cdot 1 + gamma cdot 0, alpha cdot (-1) + beta cdot 1 + gamma cdot 0)
Simplificando cada componente:
(a, b, c) = (alpha + beta + gamma, beta, -alpha + beta)

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações igualando cada componente de alpha + beta + gamma = a beta = b -alpha + beta = c com as componentes resultantes da combinação linear:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, já sabemos que:
beta = b

Passo 6

Substituindo -alpha + b = c implies -alpha = c - b implies alpha = b - c na terceira equação:

Passo 7

Agora, substituímos (b - c) + b + gamma = a implies 2b - c + gamma = a e gamma = a - 2b + c na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Então, resumindo as soluções que encontramos:
alpha = b - c
beta = b
gamma = a - 2b + c

Resposta

As coordenadas do vetor alpha beta gamma = b - c b a - 2b + c em relação à base ordenada são:

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