Considere a base ordenada de , onde e . Encontre as coordenadas do vetor com relação à base ordenada .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A ideia aqui é achar as coordenadas do vetor em relação à base ordenada , onde:
O que precisamos para isso é entender como expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter as coordenadas de em relação à base . Queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações igualando cada componente de com as componentes resultantes da combinação linear:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, já sabemos que:

Passo 6

Substituindo na terceira equação:

Passo 7

Agora, substituímos e na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Então, resumindo as soluções que encontramos:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base ordenada são:

[


]

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Sejam tais que e a matriz de em relaçỉo à base canônica é dada por
Responda acs itens:
(a) Determine a matriz de em relação à base canônica.
Sejam tais que e a matriz de em relaçỉo à base canônica é dada por
Responda acs itens:
(b) Encontre .