Considere a base ordenada
de
, onde
e
. Encontre as coordenadas do vetor
com relação à base ordenada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A ideia aqui é achar as coordenadas do vetor
em relação à base ordenada
, onde:
O que precisamos para isso é entender como expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter as coordenadas de
em relação à base
. Queremos encontrar escalares
tais que:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações igualando cada componente de
com as componentes resultantes da combinação linear:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, já sabemos que:
Passo 6
Substituindo
-alpha + b = c implies -alpha = c - b implies alpha = b - c na terceira equação:
Passo 7
Agora, substituímos
(b - c) + b + gamma = a implies 2b - c + gamma = a e
gamma = a - 2b + c na primeira equação:
Resolvendo para
:
Passo 8
Então, resumindo as soluções que encontramos:
Resposta
As coordenadas do vetor
alpha beta gamma = b - c b a - 2b + c em relação à base ordenada
são:
[
]