Os pontos e são vértices consecutivos de uma retângulo. Determine o quarto vértice.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três pontos , e que são vértices consecutivos de um retângulo. Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas do quarto vértice desse retângulo. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria, como a propriedade de que lados adjacentes de um retângulo são perpendiculares e que as diagonais se bissetam ao meio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que já temos:
  • A:
  • B:
  • C:
Queremos encontrar o ponto D que completa o retângulo. Como os vértices são consecutivos, suponhamos que a ordem seja A, B, C e D.

Passo 3

Sabemos que em um retângulo, os lados adjacentes são perpendiculares. Isso significa que o produto das inclinações desses lados deve ser igual a . Vamos calcular a inclinação dos lados AB e BC.
Para o lado AB:
Para o lado BC:
Como AB e BC são perpendiculares:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por 6:
Dividindo por -2:
Agora sabemos que o ponto C é .

Passo 5

Com os três pontos conhecidos, podemos encontrar o quarto vértice D. Uma maneira fácil de fazer isso é usando a propriedade de que, em um retângulo, a diagonal conecta dois vértices que estão nas extremidades opostas. Assim, o ponto D pode ser encontrado pela soma das coordenadas de A e C menos as coordenadas de B.

Resposta

O quarto vértice do retângulo é .

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