Os pontos (2,3),(3,1) e (9, y) são vértices consecutivos de uma retângulo. Determine o quarto vértice.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três pontos (2,3), (3,1) e (9, y) que são vértices consecutivos de um retângulo. Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas do quarto vértice desse retângulo. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria, como a propriedade de que lados adjacentes de um retângulo são perpendiculares e que as diagonais se bissetam ao meio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que já temos:
  • A: (2,3)
  • B: (3,1)
  • C: (9, y)
Queremos encontrar o ponto D que completa o retângulo. Como os vértices são consecutivos, suponhamos que a ordem seja A, B, C e D.

Passo 3

Sabemos que em um retângulo, os lados adjacentes são perpendiculares. Isso significa que o produto das inclinações desses lados deve ser igual a -1. Vamos calcular a inclinação dos lados AB e BC.
Para o lado AB:
mAB = 1 - 33 - 2 = -21 = -2
Para o lado BC:
mBC = y - 19 - 3 = y - 16
Como AB e BC são perpendiculares:
mAB times mBC = -1
(-2) times ( y - 16 ) = -1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de y:
-2 times y - 16 = -1
Multiplicando ambos os lados por 6:
-2(y - 1) = -6
Dividindo por -2:
y - 1 = 3
y = 4
Agora sabemos que o ponto C é (9, 4).

Passo 5

Com os três pontos conhecidos, podemos encontrar o quarto vértice D. Uma maneira fácil de fazer isso é usando a propriedade de que, em um retângulo, a diagonal conecta dois vértices que estão nas extremidades opostas. Assim, o ponto D pode ser encontrado pela soma das coordenadas de A e C menos as coordenadas de B.
Dx = Ax + Cx - Bx = 2 + 9 - 3 = 8
Dy = Ay + Cy - By = 3 + 4 - 1 = 6

Resposta

O quarto vértice do retângulo é (8, 6).

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