Sejam T, G in L(R^3) tais que T(x, y, z)=(x-y, 2 y, y-z) e a matriz de 2 T-3 G em relaçỉo à base canônica é dada por
(lll 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 )
Responda acs itens:
(b) Encontre G(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos duas transformações lineares, 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 e , que atuam em . A transformação é definida por . Além disso, a matriz de na base canônica é dada por:
O objetivo é encontrar a transformação . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como representação de transformações lineares por matrizes e operações com essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação [T] = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & -1 como uma matriz em relação à base canônica. Sabemos que . Isso significa que:
  • A primeira componente depende de e : .
  • A segunda componente depende apenas de : .
  • A terceira componente depende de e : .
A matriz de , chamada de , fica assim:

Passo 3

Sabemos que 2[T] - 3[G] = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 tem a matriz dada:
Nosso objetivo é encontrar a matriz de , ou seja, .

Passo 4

Vamos isolar 2[T] = 2 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & -1 = 2 & -2 & 0 0 & 4 & 0 0 & 2 & -2 na equação acima. Primeiro, multiplicamos a matriz de por 2:

Passo 5

Agora, temos:
2[T] - 3[G] = 2 & -2 & 0 0 & 4 & 0 0 & 2 & -2 - 3[G] = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1
Vamos rearranjar para resolver para 3[G] = 2[T] - 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 :

Passo 6

Calculando 2[T] - 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 = 2 - 1 & -2 - 1 & 0 - 0 0 - 1 & 4 - 1 & 0 - 0 0 - 1 & 2 - 2 & -2 - 1 = 1 & -3 & 0 -1 & 3 & 0 -1 & 0 & -3 menos a matriz dada:

Passo 7

Agora temos:
3[G] = 1 & -3 & 0 -1 & 3 & 0 -1 & 0 & -3
Para encontrar [G] = 13 1 & -3 & 0 -1 & 3 & 0 -1 & 0 & -3 = 13 & -1 & 0 -13 & 1 & 0 -13 & 0 & -1 , dividimos ambos os lados por 3:

Resposta

A transformação G(x, y, z) = ( 13x - y, -13x + y, -13x - z ) é dada por:

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