Sejam T, G in L(R^3) tais que T(x, y, z)=(x-y, 2 y, y-z) e a matriz de 2 T-3 G em relaçỉo à base canônica é dada por
(lll 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 )
Responda acs itens:
(a) Determine a matriz de G em relação à base canônica.

Passo 1

Resumo da questão e conteúdos utilizados:
Estamos trabalhando com transformações lineares em . O objetivo é encontrar a matriz da transformação linear na base canônica, dado que sabemos a transformação e a matriz de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como representar transformações lineares em matrizes e manipular equações matriciais.

Passo 2

Encontrando a matriz de T(x, y, z) = (x - y, , 2y, , y - z) na base canônica:
A transformação [T] = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & -1 é definida por:
Para encontrar a matriz de , aplicamos aos vetores da base canônica , e :
Portanto, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Estabelecendo a equação e resolvendo para 2T - 3G = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 :
Sabemos que:
2[T] = 2 cdot 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & -1 = 2 & -2 & 0 0 & 4 & 0 0 & 2 & -2
Queremos isolar -3G = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 - 2 & -2 & 0 0 & 4 & 0 0 & 2 & -2 = -1 & 3 & 0 1 & -3 & 0 1 & 0 & 3 . Primeiro, calculamos G = -13 cdot -1 & 3 & 0 1 & -3 & 0 1 & 0 & 3 = 13 & -1 & 0 -13 & 1 & 0 -13 & 0 & -1 :
Subtraindo de ambos os lados da equação:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A matriz de [G] = 13 & -1 & 0 -13 & 1 & 0 -13 & 0 & -1 em relação à base canônica é:

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