Considere a base ORTOGONAL de R^4
beta=q1, q2, q3, q4, com q3=[r 2 -2 3 2 ]
e o vetor v=(10,-6,10,-10).
Seja x=[v]beta o vetor de coordenadas de v com relação à base beta. Calcule a entrada x3 do vetor x.
(A) 3
(B) 2
© -3
(D) -2
(E) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma base ortogonal 2 -2 3 2 no espaço , composta pelos vetores . Sabemos que e temos um vetor . O objetivo é encontrar a terceira coordenada do vetor em relação à base .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de . Em uma base ortogonal, cada coordenada do vetor é calculada usando o produto interno entre e o vetor da base correspondente, dividido pelo quadrado da norma desse vetor da base.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno entre v cdot q3 = (10)(2) + (-6)(-2) + (10)(3) + (-10)(2) e . O produto interno é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores:

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
(10)(2) = 20
(-6)(-2) = 12
(10)(3) = 30
(-10)(2) = -20
Somando todos:
20 + 12 + 30 - 20 = 42

Passo 4

Agora, precisamos calcular o quadrado da norma de |q3|^2 = (2)^2 + (-2)^2 + (3)^2 + (2)^2 = 4 + 4 + 9 + 4 = 21 . A norma de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes, mas como precisamos do quadrado da norma, não precisamos tirar a raiz:

Passo 5

Com o produto interno e o quadrado da norma calculados, podemos encontrar x3 = v cdot q3|q3|^2 = 4221 = 2 usando a fórmula para coordenadas em uma base ortogonal:

Resposta

A entrada do vetor é 2. Portanto, a alternativa correta é a letra (B) 2.

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