A matriz
é tal que
e Imagem
.
Se
, calcule a matriz
.
Assinale abaixo o valor da entrada
:
(A) -12
(B) -11
© -13
(D) -14
(E) Não sei
Se
Assinale abaixo o valor da entrada
(A) -12
(B) -11
© -13
(D) -14
(E) Não sei
Passo 1
Aqui, a gente está lidando com uma matriz
de ordem
. O enunciado nos diz que o núcleo de
é o conjunto de todos os múltiplos do vetor
, ou seja,
. Além disso, a imagem de
é o conjunto de todos os múltiplos do vetor
, ou seja,
. Nós também sabemos que a entrada
da matriz
é igual a 4. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a imagem de
é
. Isso quer dizer que todas as colunas de
são múltiplos do vetor
. Então, podemos escrever a matriz
da seguinte forma:
Onde
e
são escalares que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo de
. Sabemos que qualquer vetor no núcleo de
satisfaz
. Vamos multiplicar a matriz
pelo vetor
:
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema, da segunda equação temos
, ou seja,
. Substituindo esse valor na primeira equação:
Isso confirma que
. Portanto, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo esse valor na matriz:
Então, o valor de
é
.
Resposta
O valor de
é -12.