Aqui, a gente está lidando com uma matriz de ordem . O enunciado nos diz que o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja, . Além disso, a imagem de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja, . Nós também sabemos que a entrada da matriz é igual a 4. Nosso objetivo é encontrar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a imagem de é . Isso quer dizer que todas as colunas de são múltiplos do vetor . Então, podemos escrever a matriz da seguinte forma:
Onde e são escalares que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo de . Sabemos que qualquer vetor no núcleo de satisfaz . Vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema, da segunda equação temos , ou seja, . Substituindo esse valor na primeira equação:
Isso confirma que . Portanto, podemos expressar em termos de :