A matriz A2 times 2 é tal que Ker A=span(2,-3) e Imagem A=span(-2,1).
Se a22=4, calcule a matriz A.
Assinale abaixo o valor da entrada a11 :
(A) -12
(B) -11
© -13
(D) -14
(E) Não sei

Passo 1

Aqui, a gente está lidando com uma matriz de ordem . O enunciado nos diz que o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja, . Além disso, a imagem de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja, . Nós também sabemos que a entrada da matriz é igual a 4. Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a imagem de A = -2k & -2m k & m é . Isso quer dizer que todas as colunas de são múltiplos do vetor . Então, podemos escrever a matriz da seguinte forma:
Onde e são escalares que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo de 2 -3 . Sabemos que qualquer vetor no núcleo de 0 0 satisfaz -2k & -2m k & m 2 -3 = -4k + 6m 2k - 3m = 0 0 . Vamos multiplicar a matriz -4k + 6m = 0 2k - 3m = 0 pelo vetor :

[


]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação temos -4(32m) + 6m = 0 -6m + 6m = 0 0 = 0 , ou seja, A = -3m & -2m 32m & m . Substituindo esse valor na primeira equação:
Isso confirma que . Portanto, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Sabemos que A = -12 & -8 6 & 4 . Substituindo esse valor na matriz:
Então, o valor de é .

Resposta

O valor de é -12.

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