A matriz A2 times 2 é tal que Ker A=span(2,-3) e Imagem A=span(-2,1).
Se a22=4, calcule a matriz A.
Assinale abaixo o valor da entrada a11 :
(A) -12
(B) -11
© -13
(D) -14
(E) Não sei

Passo 1

Aqui, a gente está lidando com uma matriz de ordem . O enunciado nos diz que o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja, . Além disso, a imagem de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja, . Nós também sabemos que a entrada da matriz é igual a 4. Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a imagem de A = -2k & -2m k & m é . Isso quer dizer que todas as colunas de são múltiplos do vetor . Então, podemos escrever a matriz da seguinte forma:
Onde e são escalares que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação sobre o núcleo de 2 -3 . Sabemos que qualquer vetor no núcleo de 0 0 satisfaz -2k & -2m k & m 2 -3 = -4k + 6m 2k - 3m = 0 0 . Vamos multiplicar a matriz -4k + 6m = 0 2k - 3m = 0 pelo vetor :

[


]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação temos -4(32m) + 6m = 0 -6m + 6m = 0 0 = 0 , ou seja, A = -3m & -2m 32m & m . Substituindo esse valor na primeira equação:
Isso confirma que . Portanto, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Sabemos que A = -12 & -8 6 & 4 . Substituindo esse valor na matriz:
Então, o valor de é .

Resposta

O valor de é -12.

Exercícios relacionados

São dadas abaixo as inversas das matrizes A e B :
A^-1=[rr -2 & 2 2 & 1 ] e B^-1=[rr -1 & 2 2 & -2 ]
Determine M tal que A B M=[ll1 & 0 0 & 1].
Assinale o valor da entrada m12.
(A) -9
(B) -8
© 1
(D) 0
(E) Não sei
Considere a base ORTOGONAL de R^4
beta=q1, q2, q3, q4, com q3=[r 2 -2 3 2 ]
e o vetor v=(10,-6,10,-10).
Seja x=[v]beta o vetor de coordenadas de v com relação à base beta. Calcule a entrada x3 do vetor x.
(A) 3
(B) 2
© -3
(D) -2
(E) Não sei
Seja
H=span[r 1 1 1 -2 ],[r -3 -2 -2 5 ],[l 1 0 2 1 ]
Encontre um vetor x in H^perp, com x neq 0. Calcule x3 / x4 :
(A) 1
(B) -1
© 0
(D) -2
(E) Não sei
Seja T: R^2 R^3 a transformação linear que satisfaz: T(1,-2)=(0,1,3) е T(-2,5)=(1,-3,-7).
Determine (a, b, c)=T(-5,11). Assinale o valor de a.
(A) 3
(B) 2
© 1
(D) 0
(E) Não sei