O triângulo A B C têm como vértices: A=(1,1,0,1), B=(2,-1,1,0), C=(2,4, k, 4). Para qual valor de k, o triângulo A B C é retângulo no vértice A ?
(A) 7
(B) 8
© 10
(D) 9
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo ABC com os vértices A=(1,1,0,1), B=(2,-1,1,0) e C=(2,4,k,4). A pergunta é: para qual valor de k esse triângulo é retângulo no vértice A? Vamos usar conceitos de vetores e produto escalar para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o triângulo ser retângulo no vértice A. Isso quer dizer que os lados AB e AC são perpendiculares entre si. Em termos de vetores, dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores AB e AC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (2-1, -1-1, 1-0, 0-1) = (1, -2, 1, -1)
AC = C - A = (2-1, 4-1, k-0, 4-1) = (1, 3, k, 3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar é dado por:
AB cdot AC = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(k) + (-1)(3)
Simplificando:
AB cdot AC = 1 - 6 + k - 3 = k - 8

Passo 5

Para que o triângulo seja retângulo no vértice A, o produto escalar precisa ser zero:
k - 8 = 0
Resolvendo para k:
k = 8

Resposta

O valor de k que faz o triângulo ABC ser retângulo no vértice A é 8, que corresponde à opção (B).

Exercícios relacionados

Se |v|=raiz6,|w|=2 e lang<=v, wrang<==4, calcule |v-3 w|.
(A) raiz17
(B) raiz16
© raiz18
(D) raiz15
(E) Não sei
16
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais:
a) [cc3 / 5 & -4 / 5 4 / 5 & 3 / 5]
Seja H o conjunto dos vetores de R^4 cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então dim(H^perp), a dimensão do complemento ortogonal de H, é:
(A) 2
(B) 3
© 4
(D) 1
(E) Não sei
Considere a base ORTOGONAL de R^4
beta=q1, q2, q3, q4, com q3=[r 2 -2 3 2 ]
e o vetor v=(10,-6,10,-10).
Seja x=[v]beta o vetor de coordenadas de v com relação à base beta. Calcule a entrada x3 do vetor x.
(A) 3
(B) 2
© -3
(D) -2
(E) Não sei