O triângulo A B C têm como vértices: A=(1,1,0,1), B=(2,-1,1,0), C=(2,4, k, 4). Para qual valor de k, o triângulo A B C é retângulo no vértice A ?
(A) 7
(B) 8
© 10
(D) 9
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo ABC com os vértices A=(1,1,0,1), B=(2,-1,1,0) e C=(2,4,k,4). A pergunta é: para qual valor de k esse triângulo é retângulo no vértice A? Vamos usar conceitos de vetores e produto escalar para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o triângulo ser retângulo no vértice A. Isso quer dizer que os lados AB e AC são perpendiculares entre si. Em termos de vetores, dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores AB e AC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (2-1, -1-1, 1-0, 0-1) = (1, -2, 1, -1)
AC = C - A = (2-1, 4-1, k-0, 4-1) = (1, 3, k, 3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar é dado por:
AB cdot AC = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(k) + (-1)(3)
Simplificando:
AB cdot AC = 1 - 6 + k - 3 = k - 8

Passo 5

Para que o triângulo seja retângulo no vértice A, o produto escalar precisa ser zero:
k - 8 = 0
Resolvendo para k:
k = 8

Resposta

O valor de k que faz o triângulo ABC ser retângulo no vértice A é 8, que corresponde à opção (B).

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