Seja
o conjunto dos vetores de
cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então
, a dimensão do complemento ortogonal de
, é:
(A) 2
(B) 3
© 4
(D) 1
(E) Não sei
(A) 2
(B) 3
© 4
(D) 1
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores em
e um conjunto
formado pelos vetores onde a soma das duas primeiras coordenadas é zero. O que queremos descobrir é a dimensão do complemento ortogonal de
, que a gente chama de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensões e complementos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal. Em álgebra linear, o complemento ortogonal de um subespaço
em
é formado por todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de
. A dimensão de
está relacionada com a dimensão de
e a dimensão do espaço total.
Passo 3
Sabemos que em
, a soma das dimensões de
e
deve ser igual à dimensão do espaço total, ou seja:
Então, se conseguirmos descobrir
, podemos facilmente encontrar
.
Passo 4
Vamos determinar
. O conjunto
é definido pelas condições:
Isso significa que a segunda coordenada
é dependente de
, ou seja,
. As outras duas coordenadas
e
são livres, podendo assumir qualquer valor.
Passo 5
Como temos duas coordenadas livres (
e
), a dimensão de
é 3. Isso porque cada coordenada livre adiciona uma dimensão ao subespaço.
Passo 6
Agora, voltando à fórmula inicial:
Substituindo
:
Então,
Resposta
A dimensão do complemento ortogonal de
é 1. A alternativa correta é a letra (D) 1.