Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores em e um conjunto formado pelos vetores onde a soma das duas primeiras coordenadas é zero. O que queremos descobrir é a dimensão do complemento ortogonal de , que a gente chama de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensões e complementos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal. Em álgebra linear, o complemento ortogonal de um subespaço em é formado por todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de . A dimensão de está relacionada com a dimensão de e a dimensão do espaço total.
Passo 3
Sabemos que em , a soma das dimensões de e deve ser igual à dimensão do espaço total, ou seja:
Então, se conseguirmos descobrir , podemos facilmente encontrar .
Passo 4
Vamos determinar . O conjunto é definido pelas condições:
Isso significa que a segunda coordenada é dependente de , ou seja, . As outras duas coordenadas e são livres, podendo assumir qualquer valor.
Passo 5
Como temos duas coordenadas livres ( e ), a dimensão de é 3. Isso porque cada coordenada livre adiciona uma dimensão ao subespaço.
Passo 6
Agora, voltando à fórmula inicial:
Substituindo :
Então,
Resposta
A dimensão do complemento ortogonal de é 1. A alternativa correta é a letra (D) 1.