Seja H o conjunto dos vetores de R^4 cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então dim(H^perp), a dimensão do complemento ortogonal de H, é:
(A) 2
(B) 3
© 4
(D) 1
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores em e um conjunto formado pelos vetores onde a soma das duas primeiras coordenadas é zero. O que queremos descobrir é a dimensão do complemento ortogonal de , que a gente chama de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensões e complementos ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal. Em álgebra linear, o complemento ortogonal de um subespaço em é formado por todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de . A dimensão de está relacionada com a dimensão de e a dimensão do espaço total.

Passo 3

Sabemos que em dim(H) + dim(H^perp) = 4 , a soma das dimensões de e deve ser igual à dimensão do espaço total, ou seja:
Então, se conseguirmos descobrir , podemos facilmente encontrar .

Passo 4

Vamos determinar x1 + x2 = 0 . O conjunto é definido pelas condições:
Isso significa que a segunda coordenada é dependente de , ou seja, . As outras duas coordenadas e são livres, podendo assumir qualquer valor.

Passo 5

Como temos duas coordenadas livres ( e ), a dimensão de é 3. Isso porque cada coordenada livre adiciona uma dimensão ao subespaço.

Passo 6

Agora, voltando à fórmula inicial:
dim(H) + dim(H^perp) = 4
Substituindo 3 + dim(H^perp) = 4 :
dim(H^perp) = 4 - 3 = 1
Então,

Resposta

A dimensão do complemento ortogonal de é 1. A alternativa correta é a letra (D) 1.

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