Seja a função
f: R^2 times R^2 longrightarrow M(1,1)
((x1, y1),(x2, y2)) longmapsto[x1 y1][ll1 & 1 1 & 2][lx2 y2]
Mostrar que f é um produto interno em R^2 e calcular:
a) A norma do vetor (1,3);

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que pega dois vetores em e retorna uma matriz . A tarefa é mostrar que é um produto interno em e depois calcular a norma do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um produto interno, verificar se satisfaz as propriedades de um produto interno e depois usar essa definição para calcular a norma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma operação que associa a cada par de vetores um número real, geralmente denotado , que satisfaz quatro propriedades:
  1. Linearidade em relação ao primeiro argumento:
  2. Simetria:
  3. Positividade:
  4. Definido positivo: se e somente se
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

A função f( ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) ) = [ x1 y1 ] 1 & 1 1 & 2 x2 y2 está definida da seguinte maneira:
1 & 1 1 & 2 x2 y2 = x2 + y2 x2 + 2y2
Vamos simplificar essa expressão para ver melhor o que estamos lidando. Multiplicando as matrizes:
f( ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) ) = [ x1 y1 ] x2 + y2 x2 + 2y2 = x1(x2 + y2) + y1(x2 + 2y2)
Então,
x1x2 + x1y2 + y1x2 + 2y1y2
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos verificar as propriedades do produto interno para x2x1 + x2y1 + y2x1 + 2y2y1 = x1x2 + x1y2 + y1x2 + 2y1y2 .
  1. Linearidade: A expressão f( ( x, y ), ( x, y ) ) = x^2 + xy + yx + 2y^2 = x^2 + 2xy + 2y^2 é linear em relação a e , pois cada termo é produto de componentes que se combinam de forma linear.
  2. Simetria: Trocar por na expressão resulta na mesma forma:
Então, .
  1. Positividade:
Para todo , isso é maior ou igual a zero, pois é uma soma de termos quadráticos positivos.
  1. Definido positivo: Se , então e . Portanto, somente se .
Como todas as propriedades estão satisfeitas, é um produto interno em .

Passo 5

Agora que sabemos que | v | = raiz f(v, v) é um produto interno, podemos definir a norma de um vetor como:
Vamos calcular a norma do vetor .

Passo 6

Substituindo f( (1,3), (1,3) ) = 1^2 + 2 cdot 1 cdot 3 + 2 cdot 3^2 = 1 + 6 + 18 = 25 e | (1,3) | = raiz25 = 5 na expressão de :
Então,

Resposta

A norma do vetor é .

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