Seja a função


Mostrar que f é um produto interno em e calcular:
a) A norma do vetor ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que pega dois vetores em e retorna uma matriz . A tarefa é mostrar que é um produto interno em e depois calcular a norma do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um produto interno, verificar se satisfaz as propriedades de um produto interno e depois usar essa definição para calcular a norma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma operação que associa a cada par de vetores um número real, geralmente denotado , que satisfaz quatro propriedades:
  1. Linearidade em relação ao primeiro argumento:
  2. Simetria:
  3. Positividade:
  4. Definido positivo: se e somente se
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

A função está definida da seguinte maneira:
Vamos simplificar essa expressão para ver melhor o que estamos lidando. Multiplicando as matrizes:
Então,
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos verificar as propriedades do produto interno para .
  1. Linearidade: A expressão é linear em relação a e , pois cada termo é produto de componentes que se combinam de forma linear.
  2. Simetria: Trocar por na expressão resulta na mesma forma:
Então, .
  1. Positividade:
Para todo , isso é maior ou igual a zero, pois é uma soma de termos quadráticos positivos.
  1. Definido positivo: Se , então e . Portanto, somente se .
Como todas as propriedades estão satisfeitas, é um produto interno em .

Passo 5

Agora que sabemos que é um produto interno, podemos definir a norma de um vetor como:
Vamos calcular a norma do vetor .

Passo 6

Substituindo e na expressão de :
Então,

Resposta

A norma do vetor é .

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Determine a transformação linear tal que
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Tome dois vetores, e . Substitua o vetor pelo vetor e recalcule as coordenadas de com relação à nova base.
Encontre a inversa de
(b)
Considere a transformação linear dada por
a) Determine tal que