Seja a função
Mostrar que f é um produto interno em
e calcular:
a) A norma do vetor
;
Mostrar que f é um produto interno em
a) A norma do vetor
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que pega dois vetores em
e retorna uma matriz
. A tarefa é mostrar que
é um produto interno em
e depois calcular a norma do vetor
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um produto interno, verificar se
satisfaz as propriedades de um produto interno e depois usar essa definição para calcular a norma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma operação que associa a cada par de vetores
um número real, geralmente denotado
, que satisfaz quatro propriedades:
- Linearidade em relação ao primeiro argumento:
- Simetria:
- Positividade:
- Definido positivo:
se e somente se
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
A função
está definida da seguinte maneira:
Vamos simplificar essa expressão para ver melhor o que estamos lidando. Multiplicando as matrizes:
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos verificar as propriedades do produto interno para
.
-
Linearidade: A expressão
é linear em relação a e , pois cada termo é produto de componentes que se combinam de forma linear. -
Simetria: Trocar
por na expressão resulta na mesma forma:
Então,
.
- Positividade:
Para todo
, isso é maior ou igual a zero, pois é uma soma de termos quadráticos positivos.
- Definido positivo: Se
, então e . Portanto, somente se .
Como todas as propriedades estão satisfeitas,
é um produto interno em
.
Passo 5
Agora que sabemos que
é um produto interno, podemos definir a norma de um vetor
como:
Vamos calcular a norma do vetor
.
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Então,
Resposta
A norma do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Considere a base de
dada por
Determine a transformação linear
tal que
Determine a imagem dos vetores
e
.
Tome dois vetores,
e
. Substitua o vetor
pelo vetor
e recalcule as coordenadas de
com relação à nova base.
Encontre a inversa de
(b)
(b)
Considere a transformação linear
dada por
a) Determine
tal que