Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de para (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2). A gente foi dado uma base de e as imagens desses vetores pela transformação . Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor pela transformação . Para isso, vamos precisar entender como escrever como combinação linear dos vetores da base e, em seguida, usar a linearidade de para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a - b = 3 implies a = b + 3 .
Da terceira equação:
(b + 3) + 2c = 1 implies b + 2c = -2
Substituindo b + c = 2 implies b = 2 - c na primeira equação:
(2 - c) + 2c = -2 implies 2 + c = -2 implies c = -4
E da segunda equação:
b = 2 - (-4) = 6
Agora, substituindo a = b + 3 = 6 + 3 = 9 na equação :
Com , então:
E:
Então, encontramos , e .
Passo 4
Agora que temos os coeficientes T(a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) + c cdot T(v3) , podemos usar a linearidade da transformação T(v1) = t^2 - t, T(v2) = t + 2, T(v3) = t^2 - 1 para encontrar T(u) = 9 cdot (t^2 - t) + 6 cdot (t + 2) + (-4) cdot (t^2 - 1) .