Considere a base de R^3 dada por
beta=(1,0,1),(0,0,-1),(2,1,0)
Determine a transformação linear T: R^3 longrightarrow P2 tal que
T(1,0,1)=t^2-t, T(0,0,-1)=t+2 e T(2,1,0)=t^2-1
Determine a imagem do vetor u=(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de para (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2). A gente foi dado uma base de e as imagens desses vetores pela transformação . Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor pela transformação . Para isso, vamos precisar entender como escrever como combinação linear dos vetores da base e, em seguida, usar a linearidade de para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor a(1,0,1) + b(0,0,-1) + c(2,1,0) = (1,2,3) como uma combinação linear dos vetores da base ( a + 2c, , 0 + b + 1c, , a - b + 0c ) = (1,2,3) . Ou seja, queremos encontrar escalares a + 2c = 1 b + c = 2 a - b = 3 tais que:
Isso significa que:
Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a - b = 3 implies a = b + 3 .
Da terceira equação:
(b + 3) + 2c = 1 implies b + 2c = -2
Substituindo b + c = 2 implies b = 2 - c na primeira equação:
(2 - c) + 2c = -2 implies 2 + c = -2 implies c = -4
E da segunda equação:
b = 2 - (-4) = 6
Agora, substituindo a = b + 3 = 6 + 3 = 9 na equação :
Com , então:
E:
Então, encontramos , e .

Passo 4

Agora que temos os coeficientes T(a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) + c cdot T(v3) , podemos usar a linearidade da transformação T(v1) = t^2 - t, T(v2) = t + 2, T(v3) = t^2 - 1 para encontrar T(u) = 9 cdot (t^2 - t) + 6 cdot (t + 2) + (-4) cdot (t^2 - 1) .
Sabemos que:
Onde , e .
Dado que:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
T(u) &= 9(t^2 - t) + 6(t + 2) - 4(t^2 - 1) &= 9t^2 - 9t + 6t + 12 - 4t^2 + 4 &= (9t^2 - 4t^2) + (-9t + 6t) + (12 + 4) &= 5t^2 - 3t + 16

Resposta

A imagem do vetor T(1,2,3) = 5t^2 - 3t + 16 pela transformação é:

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