Considere a base de dada por
Determine a transformação linear tal que
Determine a imagem do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de para (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2). A gente foi dado uma base de e as imagens desses vetores pela transformação . Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor pela transformação . Para isso, vamos precisar entender como escrever como combinação linear dos vetores da base e, em seguida, usar a linearidade de para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:
Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de .
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
E da segunda equação:
Agora, substituindo na equação :
Com , então:
E:
Então, encontramos , e .

Passo 4

Agora que temos os coeficientes , podemos usar a linearidade da transformação para encontrar .
Sabemos que:
Onde , e .
Dado que:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A imagem do vetor pela transformação é:

Exercícios relacionados

Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
(b)
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem vetores em , então é um vetor em .
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em ambos e , então .
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .