Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de para (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2). A gente foi dado uma base de e as imagens desses vetores pela transformação . Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor pela transformação . Para isso, vamos precisar entender como escrever como combinação linear dos vetores da base e, em seguida, usar a linearidade de para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de .
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
E da segunda equação:
Agora, substituindo na equação :
Com , então:
E:
Então, encontramos , e .
Passo 4
Agora que temos os coeficientes , podemos usar a linearidade da transformação para encontrar .