Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
for um vetor em ambos
e
, então
.
Se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está perguntando e quais conceitos precisamos usar. A afirmação diz que “se
é um vetor que está tanto em
quanto em
, então
deve ser o vetor zero”. Para resolver isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, complemento ortogonal e propriedades de vetores nesses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal
. Esse conjunto inclui todos os vetores que são ortogonais (ou seja, têm produto interno zero) a todos os vetores de
. Em termos matemáticos, se
, então para todo
, temos:
Passo 3
Agora, suponha que
está em
e também em
. Como
, podemos considerar o produto interno de
consigo mesmo:
Por outro lado, já que
e
, aplicando a definição do complemento ortogonal, temos:
Passo 4
O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu comprimento, ou seja:
Portanto, temos:
Passo 5
A única maneira de o quadrado do comprimento de um vetor ser zero é se o próprio vetor for o vetor nulo. Assim:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
está em
e em
, então
deve ser o vetor zero.
Exercícios relacionados
Considere a base de
dada por
Determine a transformação linear
tal que
Determine a imagem do vetor
.
Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
(b)
(b)
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e
forem ortogonais, então
.
Se