Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se u for um vetor em ambos W e W^perp, então u=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está perguntando e quais conceitos precisamos usar. A afirmação diz que “se u é um vetor que está tanto em W quanto em W^perp, então u deve ser o vetor zero”. Para resolver isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, complemento ortogonal e propriedades de vetores nesses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal W^perp. Esse conjunto inclui todos os vetores que são ortogonais (ou seja, têm produto interno zero) a todos os vetores de W. Em termos matemáticos, se v in W, então para todo u in W^perp, temos:
u cdot v = 0

Passo 3

Agora, suponha que u está em W e também em W^perp. Como u in W, podemos considerar o produto interno de u consigo mesmo:
u cdot u
Por outro lado, já que u in W^perp e u in W, aplicando a definição do complemento ortogonal, temos:
u cdot u = 0

Passo 4

O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu comprimento, ou seja:
u cdot u = |u|^2
Portanto, temos:
|u|^2 = 0

Passo 5

A única maneira de o quadrado do comprimento de um vetor ser zero é se o próprio vetor for o vetor nulo. Assim:
u = 0

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se u está em W e em W^perp, então u deve ser o vetor zero.

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