Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em ambos e , então .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está perguntando e quais conceitos precisamos usar. A afirmação diz que “se é um vetor que está tanto em quanto em , então deve ser o vetor zero”. Para resolver isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, complemento ortogonal e propriedades de vetores nesses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Esse conjunto inclui todos os vetores que são ortogonais (ou seja, têm produto interno zero) a todos os vetores de . Em termos matemáticos, se , então para todo , temos:

Passo 3

Agora, suponha que está em e também em . Como , podemos considerar o produto interno de consigo mesmo:
Por outro lado, já que e , aplicando a definição do complemento ortogonal, temos:

Passo 4

O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu comprimento, ou seja:
Portanto, temos:

Passo 5

A única maneira de o quadrado do comprimento de um vetor ser zero é se o próprio vetor for o vetor nulo. Assim:

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se está em e em , então deve ser o vetor zero.

Exercícios relacionados

Considere a base de dada por
Determine a transformação linear tal que
Determine a imagem do vetor .
Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
(b)
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem ortogonais, então .