Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^2 R^2, T(x, y, z)=(x+y, 2 x+y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um operador linear definido por . O que a gente precisa fazer é encontrar o polinômio característico desse operador, descobrir os autovalores e autovetores, e então determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1 & 1 2 & 1 como uma matriz. Isso facilita os cálculos. A matriz associada a é:
Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica sob a transformação .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico da matriz A - lambda I = 1 - lambda & 1 2 & 1 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (2 cdot 1) = (1 - lambda)^2 - 2 , onde é a matriz identidade e é um escalar. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Agora, simplificamos o polinômio característico:
(1 - lambda)^2 - 2 = 0 Rightarrow 1 - 2lambda + lambda^2 - 2 = 0 Rightarrow lambda^2 - 2lambda - 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 1 pm raiz2
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema A - lambda1 I = 1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) = -raiz2 & 1 2 & -raiz2 , onde -raiz2x + y = 0 2x - raiz2y = 0 é o autovetor.
Para v1 = 1 raiz2 :
A - lambda2 I = 1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) = raiz2 & 1 2 & raiz2
Vamos montar o sistema:
raiz2x + y = 0 2x + raiz2y = 0
Da primeira equação, v2 = 1 -raiz2 . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor associado a é:
Para :
Montando o sistema:
Da primeira equação, . Escolhendo , temos . Então, um autovetor associado a é:

Passo 6

Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente aos autovalores encontrados.
Para 1 raiz2 :
O autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de 1 -raiz2 . Portanto, uma base para esse autoespaço é:
A dimensão desse autoespaço é 1.
Para :
O autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de . Assim, uma base para esse autoespaço é:
A dimensão desse autoespaço também é 1.

Resposta

O polinômio característico do operador 1 raiz2 é 1 -raiz2 . Os autovalores são e . Um autovetor para é e para é . Cada autoespaço tem uma base formada por esses autovetores e dimensão igual a 1.

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