Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um operador linear definido por . O que a gente precisa fazer é encontrar o polinômio característico desse operador, descobrir os autovalores e autovetores, e então determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Isso facilita os cálculos. A matriz associada a é:
Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica sob a transformação .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Agora, simplificamos o polinômio característico:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema , onde é o autovetor.
Para :
Vamos montar o sistema:
Da primeira equação, . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor associado a é:
Para :
Montando o sistema:
Da primeira equação, . Escolhendo , temos . Então, um autovetor associado a é:

Passo 6

Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente aos autovalores encontrados.
Para :
O autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de . Portanto, uma base para esse autoespaço é:
A dimensão desse autoespaço é 1.
Para :
O autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de . Assim, uma base para esse autoespaço é:
A dimensão desse autoespaço também é 1.

Resposta

O polinômio característico do operador é . Os autovalores são e . Um autovetor para é e para é . Cada autoespaço tem uma base formada por esses autovetores e dimensão igual a 1.

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