Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um operador linear
definido por
. O que a gente precisa fazer é encontrar o polinômio característico desse operador, descobrir os autovalores e autovetores, e então determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Isso facilita os cálculos. A matriz associada a
é:
Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica sob a transformação
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico da matriz
. O polinômio característico é dado por
, onde
é a matriz identidade e
é um escalar. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Agora, simplificamos o polinômio característico:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema
, onde
é o autovetor.
Para
:
Vamos montar o sistema:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor associado a
é:
Para
:
Montando o sistema:
Da primeira equação,
. Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor associado a
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente aos autovalores encontrados.
Para
:
O autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de
. Portanto, uma base para esse autoespaço é:
A dimensão desse autoespaço é 1.
Para
:
O autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de
. Assim, uma base para esse autoespaço é:
A dimensão desse autoespaço também é 1.
Resposta
O polinômio característico do operador
é
. Os autovalores são
e
. Um autovetor para
é
e para
é
. Cada autoespaço tem uma base formada por esses autovetores e dimensão igual a 1.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em ambos
e
, então
.
Se
Considere a base de
dada por
Determine a transformação linear
tal que
Determine a imagem do vetor
.
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e
forem ortogonais, então
.
Se
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em
e
um número real, então
é um vetor em
.
Se