Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
e
forem vetores em
, então
é um vetor em
.
Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Se
e
são vetores em
, então
também está em
. Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais e seus complementos ortogonais. Precisamos entender o que significa estar no complemento ortogonal e como a soma de vetores se comporta nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal
. Ele consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de
. Matematicamente, isso significa que para todo vetor
, temos:
Isso define a relação de perpendicularidade entre os vetores de
e os de
.
Passo 3
Agora, queremos saber se a soma desses vetores, ou seja,
, também está em
. Para isso, precisamos verificar se:
para todo
.
Passo 4
Vamos expandir o produto interno usando a propriedade distributiva:
Passo 5
Sabemos que
e
porque
e
estão em
. Então:
Passo 6
Como o resultado é zero para todo
, concluímos que:
Resposta
A afirmação é verdadeira. A soma de dois vetores em
também pertence a
.