Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem vetores em , então é um vetor em .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: Se e são vetores em , então também está em . Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais e seus complementos ortogonais. Precisamos entender o que significa estar no complemento ortogonal e como a soma de vetores se comporta nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de . Matematicamente, isso significa que para todo vetor , temos:
Isso define a relação de perpendicularidade entre os vetores de e os de .

Passo 3

Agora, queremos saber se a soma desses vetores, ou seja, , também está em . Para isso, precisamos verificar se:
para todo .

Passo 4

Vamos expandir o produto interno usando a propriedade distributiva:

Passo 5

Sabemos que e porque e estão em . Então:

Passo 6

Como o resultado é zero para todo , concluímos que:

Resposta

A afirmação é verdadeira. A soma de dois vetores em também pertence a .

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Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: dada por ;
Seja:
(a) Verifique se A é inversível.
Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
(b)
Considere a base de dada por
Determine a transformação linear tal que
Determine a imagem do vetor .