Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem vetores em , então é um vetor em .
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Seesão vetores em, entãotambém está em. Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais e seus complementos ortogonais. Precisamos entender o que significa estar no complemento ortogonal e como a soma de vetores se comporta nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de . Matematicamente, isso significa que para todo vetor , temos:
Isso define a relação de perpendicularidade entre os vetores de e os de .
Passo 3
Agora, queremos saber se a soma desses vetores, ou seja, , também está em . Para isso, precisamos verificar se:
para todo .
Passo 4
Vamos expandir o produto interno usando a propriedade distributiva:
Passo 5
Sabemos que e porque e estão em . Então:
Passo 6
Como o resultado é zero para todo , concluímos que:
Resposta
A afirmação é verdadeira. A soma de dois vetores em também pertence a .