Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se u e v forem vetores em W^perp, então u+v é um vetor em W^perp.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: Se u e v são vetores em W^perp, então u + v também está em W^perp. Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais e seus complementos ortogonais. Precisamos entender o que significa estar no complemento ortogonal e como a soma de vetores se comporta nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal W^perp. Ele consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de W. Matematicamente, isso significa que para todo vetor w in W, temos:
u cdot w = 0 e v cdot w = 0
Isso define a relação de perpendicularidade entre os vetores de W^perp e os de W.

Passo 3

Agora, queremos saber se a soma desses vetores, ou seja, u + v, também está em W^perp. Para isso, precisamos verificar se:
(u + v) cdot w = 0
para todo w in W.

Passo 4

Vamos expandir o produto interno usando a propriedade distributiva:
(u + v) cdot w = u cdot w + v cdot w

Passo 5

Sabemos que u cdot w = 0 e v cdot w = 0 porque u e v estão em W^perp. Então:
u cdot w + v cdot w = 0 + 0 = 0

Passo 6

Como o resultado é zero para todo w in W, concluímos que:
u + v in W^perp

Resposta

A afirmação é verdadeira. A soma de dois vetores em W^perp também pertence a W^perp.

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