Considere a base de e use esta fórmila para obter .
çåó
Encontre uma fórmula para e use esta fórmula para obter .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem uma transformação linear e uma base de . A gente sabe como age nos vetores da base:
O objetivo é encontrar uma fórmula geral para usando essas informações e, depois, calcular . Para isso, vamos precisar usar os conceitos de combinação linear e propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja:
Onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expressar e . Supondo que:
Isso simplifica nossa vida, porque podemos diretamente relacionar e com e :
Então, temos:

Passo 4

Como é uma transformação linear, ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Portanto, podemos aplicar na combinação linear:

Passo 5

Agora, substituímos e pelos valores que a questão nos deu:
Vamos fazer a multiplicação escalar:

Passo 6

Agora, somamos componente a componente:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a fórmula para a transformação linear é:
E aplicando essa fórmula para :
Então, .

Exercícios relacionados

Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .
Seja a base canônica do (operações usuais)
Prove que é base do , obtenha (justifique) (matriz de mudança de base da base para a base ) e, dados abaixo os vetores no , obtenha as coordenadas de cada um desses vetores em relação à base .
PROVE que se é um espaço vetorial de dimensâo finita entâ qualquer base de tem sempre o mesmo número de elementos (este número é a dimecisāo de ) .
Sejam e uma lista de vetores em . Quais dos vetores são combinações lineares dos vetores da lista ?