Considere a base
de
e use esta fórmila para obter
.
Encontre uma fórmula para
e use esta fórmula para obter
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem uma transformação linear
e uma base
de
. A gente sabe como
age nos vetores da base:
O objetivo é encontrar uma fórmula geral para
usando essas informações e, depois, calcular
. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de combinação linear e propriedades das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja:
Onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expressar
e
. Supondo que:
Isso simplifica nossa vida, porque podemos diretamente relacionar
e
com
e
:
Então, temos:
Passo 4
Como
é uma transformação linear, ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Portanto, podemos aplicar
na combinação linear:
Passo 5
Agora, substituímos
e
pelos valores que a questão nos deu:
Vamos fazer a multiplicação escalar:
Passo 6
Agora, somamos componente a componente:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a fórmula para a transformação linear
é:
E aplicando essa fórmula para
:
Então,
.