Considere a base S=v1, v2 de R^2 e use esta fórmila para obter T(5,-3).
l T(v1)=(-1,2,0) e T(v1)=(-2,1) e v2=(1,3) e seja T: R^2 R^3 a transformaçåo linear tal que nula para T(x1, x2) e use esta fórmula para obter T(v1, 5) =v1, v2, v3 ) çåó
Encontre uma fórmula para T(x1, x2) e use esta fórmula para obter T(2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem uma transformação linear T(v1) = (-1, 2, 0) e T(v2) = (-2, 1, 0) e uma base de . A gente sabe como age nos vetores da base:
O objetivo é encontrar uma fórmula geral para usando essas informações e, depois, calcular . Para isso, vamos precisar usar os conceitos de combinação linear e propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor (x1, x2) = a cdot v1 + b cdot v2 em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja:
Onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expressar v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1) e a = x1 e b = x2 . Supondo que:
(x1, x2) = x1 cdot v1 + x2 cdot v2
Isso simplifica nossa vida, porque podemos diretamente relacionar e com e :
Então, temos:

Passo 4

Como T(x1, x2) = T(x1 cdot v1 + x2 cdot v2) = x1 cdot T(v1) + x2 cdot T(v2) é uma transformação linear, ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Portanto, podemos aplicar na combinação linear:

Passo 5

Agora, substituímos T(x1, x2) = x1 cdot (-1, 2, 0) + x2 cdot (-2, 1, 0) e = (-x1, 2x1, 0) + (-2x2, x2, 0) pelos valores que a questão nos deu:
Vamos fazer a multiplicação escalar:

Passo 6

Agora, somamos componente a componente:
= (-x1 - 2x2, 2x1 + x2, 0 + 0)
Simplificando:
T(x1, x2) = (-x1 - 2x2, 2x1 + x2, 0)

Resposta

Portanto, a fórmula para a transformação linear T(x1, x2) = (-x1 - 2x2, 2x1 + x2, 0) é:
T(2, -3) = ( -2 - 2(-3), 2(2) + (-3), 0 ) = ( -2 + 6, 4 - 3, 0 ) = (4, 1, 0)
E aplicando essa fórmula para :
Então, .

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