Encontre os geradores para os seguintes subespaços de
:
(a)
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um subespaço
de
definido por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo é encontrar os geradores desse subespaço, ou seja, encontrar um conjunto de vetores que, combinados linearmente, possam gerar qualquer vetor em
.
Passo 2
A equação
pode ser reescrita como
. Isso significa que, para qualquer vetor em
, o primeiro componente
é igual ao segundo componente
. O terceiro componente
não está restrito por essa equação, então ele pode ser qualquer valor em
.
Passo 3
Vamos expressar os vetores de
de forma mais clara usando variáveis livres. Como
, podemos escolher
e
como variáveis livres. Assim, um vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear de dois vetores básicos: um que varia
e outro que varia
.
Passo 4
Para encontrar os geradores, identificamos os vetores que multiplicados por
e
nos dão todos os vetores possíveis em
. Observando a expressão
, vemos que podemos decompor isso em:
Portanto, os vetores
e
são os geradores de
.
Resposta
Os geradores para o subespaço
são os vetores
e
.