Encontre os geradores para os seguintes subespaços de F^3 :
(a) W1=(x, y, z) in F^3: x-y=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um subespaço de definido por todos os vetores que satisfazem a equação . Nosso objetivo é encontrar os geradores desse subespaço, ou seja, encontrar um conjunto de vetores que, combinados linearmente, possam gerar qualquer vetor em .

Passo 2

A equação pode ser reescrita como . Isso significa que, para qualquer vetor em , o primeiro componente é igual ao segundo componente . O terceiro componente não está restrito por essa equação, então ele pode ser qualquer valor em .

Passo 3

Vamos expressar os vetores de (x, y, z) = (y, y, z) de forma mais clara usando variáveis livres. Como , podemos escolher e como variáveis livres. Assim, um vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear de dois vetores básicos: um que varia e outro que varia .

Passo 4

Para encontrar os geradores, identificamos os vetores que multiplicados por y cdot (1, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) e nos dão todos os vetores possíveis em . Observando a expressão , vemos que podemos decompor isso em:
Portanto, os vetores e são os geradores de .

Resposta

Os geradores para o subespaço são os vetores e .

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