Sejam e uma lista de vetores em . Quais dos vetores são combinações lineares dos vetores da lista ?
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial e uma lista de vetores . A questão é descobrir quais dos vetores , e podem ser escritos como combinações lineares dos vetores da lista . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores e é qualquer vetor que possa ser escrito na forma:
onde e são números escalares (coeficientes). Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam essa equação para cada um dos vetores , e .
Passo 3
Vamos começar com o vetor . Queremos encontrar e tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos na terceira equação:
Como a equação não é satisfeita, o vetor não é uma combinação linear de e .
Passo 4
Agora, vamos verificar o vetor a(1,1,-2) + b(3,0,4) = (3,1,-4) . Procuramos a + 3b = 3 a = 1 -2a + 4b = -4 e 1 + 3b = 3 Rightarrow 3b = 2 Rightarrow b = 23 tais que:
-2(1) + 4(23) = -2 + 83 = -6 + 83 = 23 neq -4
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Verificando na terceira equação:
Portanto, o vetor não é uma combinação linear dos vetores da lista .
Passo 5
Por último, vamos analisar o vetor a(1,1,-2) + b(3,0,4) = (-1,1,0) . Procuramos a + 3b = -1 a = 1 -2a + 4b = 0 e 1 + 3b = -1 Rightarrow 3b = -2 Rightarrow b = -23 tais que:
-2(1) + 4(-23) = -2 - 83 = -6 -83 = -143 neq 0
O sistema fica:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Verificando na terceira equação:
Assim, o vetor não é uma combinação linear dos vetores da lista .
Resposta
Nenhum dos vetores , e é uma combinação linear dos vetores da lista .