Sejam V=F^3 e alpha=(u1=(1,1,-2), u2=(3,0,4)) uma lista de vetores em V. Quais dos vetores u=(4,-5,9), v=(3,1,-4) e w=(-1,1,0) são combinações lineares dos vetores da lista alpha ?

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial e uma lista de vetores . A questão é descobrir quais dos vetores , e podem ser escritos como combinações lineares dos vetores da lista . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores au1 + bu2 e é qualquer vetor que possa ser escrito na forma:
onde e são números escalares (coeficientes). Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam essa equação para cada um dos vetores , e .

Passo 3

Vamos começar com o vetor a(1,1,-2) + b(3,0,4) = (4,-5,9) . Queremos encontrar a + 3b = 4 a + 0b = -5 -2a + 4b = 9 e -5 + 3b = 4 Rightarrow 3b = 9 Rightarrow b = 3 tais que:
-2(-5) + 4(3) = 10 + 12 = 22 neq 9
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos na terceira equação:
Como a equação não é satisfeita, o vetor não é uma combinação linear de e .

Passo 4

Agora, vamos verificar o vetor a(1,1,-2) + b(3,0,4) = (3,1,-4) . Procuramos a + 3b = 3 a = 1 -2a + 4b = -4 e 1 + 3b = 3 Rightarrow 3b = 2 Rightarrow b = 23 tais que:
-2(1) + 4(23) = -2 + 83 = -6 + 83 = 23 neq -4
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Verificando na terceira equação:
Portanto, o vetor não é uma combinação linear dos vetores da lista .

Passo 5

Por último, vamos analisar o vetor a(1,1,-2) + b(3,0,4) = (-1,1,0) . Procuramos a + 3b = -1 a = 1 -2a + 4b = 0 e 1 + 3b = -1 Rightarrow 3b = -2 Rightarrow b = -23 tais que:
-2(1) + 4(-23) = -2 - 83 = -6 -83 = -143 neq 0
O sistema fica:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Verificando na terceira equação:
Assim, o vetor não é uma combinação linear dos vetores da lista .

Resposta

Nenhum dos vetores , e é uma combinação linear dos vetores da lista .

Exercícios relacionados