Seja alpha a base canônica do R^3 (operações usuais)
Prove que beta=(1,3,0),(-1,1,1),(2,-1,-1) é base do R^3, obtenha (justifique) [I]beta^alpha (matriz de mudança de base da base alpha para a base beta ) e, dados abaixo os vetores u, v, w, s no R^3, obtenha as coordenadas de cada um desses vetores em relação à base beta.
u=(2,-2,0) v=(-2,1,3) w=(-3,3,3) s=(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto β = {(1,3,0), (-1,1,1), (2,-1,-1)} forma uma base de . Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e dimensão do espaço. Depois, a gente vai encontrar a matriz de mudança de base de α (a base canônica) para β, denotada por . Por fim, vamos calcular as coordenadas dos vetores u, v, w e s em relação à base β.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores de β são linearmente independentes. Se forem, então β é uma base de , já que temos três vetores no espaço tridimensional.

Passo 3

Para testar a independência linear, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores de β:
1 & -1 & 2 3 & 1 & -1 0 & 1 & -1
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Calculando o determinante:
det = 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot (-1)) - (-1) cdot (3 cdot (-1) - 0 cdot (-1)) + 2 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 1)
det = 1 cdot ( -1 + 1 ) - (-1) cdot (-3 - 0) + 2 cdot (3 - 0 )
det = 1 cdot 0 - (-1) cdot (-3) + 2 cdot 3
det = 0 - 3 + 6 = 3
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como β é composta por três vetores linearmente independentes em , ela é de fato uma base desse espaço. Agora vamos construir a matriz de mudança de base .

Passo 6

A matriz de mudança de base [I]beta^alpha = 1 & -1 & 2 3 & 1 & -1 0 & 1 & -1 é formada colocando os vetores de β como colunas na base α. Portanto:

Passo 7

Agora, para encontrar as coordenadas dos vetores u, v, w e s em relação à base β, precisamos resolver o sistema para cada vetor.

Passo 8

Vamos começar com o vetor u = (2, -2, 0). Montamos o sistema:
1x1 -1x2 + 2x3 = 2 3x1 +1x2 -1x3 = -2 0x1 +1x2 -1x3 = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos as coordenadas de u em β.

Passo 9

Resolvendo o sistema para u:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,

Passo 10

Repetindo o processo para o vetor v = (-2, 1, 3):
Montamos o sistema:
1x1 -1x2 + 2x3 = -2 3x1 +1x2 -1x3 = 1 0x1 +1x2 -1x3 = 3
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,

Passo 11

Agora para o vetor w = (-3, 3, 3):
Montamos o sistema:
1x1 -1x2 + 2x3 = -3 3x1 +1x2 -1x3 = 3 0x1 +1x2 -1x3 = 3
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,

Passo 12

Por fim, para o vetor s = (0, 0, 1):
Montamos o sistema:
1x1 -1x2 + 2x3 = 0 3x1 +1x2 -1x3 = 0 0x1 +1x2 -1x3 = 1
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,

Resposta

A base β é uma base de 1 & -1 & 2 3 & 1 & -1 0 & 1 & -1 , a matriz de mudança de base [u]beta = ( -23, 83, 83 ) [v]beta = ( -23, 143, 53 ) [w]beta = ( 0, 3, 0 ) [s]beta = ( -13, 73, 43 ) é:
As coordenadas dos vetores em relação à base β são:

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