Seja a base canônica do (operações usuais)
Prove que é base do , obtenha (justifique) (matriz de mudança de base da base para a base ) e, dados abaixo os vetores no , obtenha as coordenadas de cada um desses vetores em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto β = {(1,3,0), (-1,1,1), (2,-1,-1)} forma uma base de . Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e dimensão do espaço. Depois, a gente vai encontrar a matriz de mudança de base de α (a base canônica) para β, denotada por . Por fim, vamos calcular as coordenadas dos vetores u, v, w e s em relação à base β.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores de β são linearmente independentes. Se forem, então β é uma base de , já que temos três vetores no espaço tridimensional.
Passo 3
Para testar a independência linear, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores de β:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 4
Calculando o determinante:
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como β é composta por três vetores linearmente independentes em , ela é de fato uma base desse espaço. Agora vamos construir a matriz de mudança de base .
Passo 6
A matriz de mudança de base é formada colocando os vetores de β como colunas na base α. Portanto:
Passo 7
Agora, para encontrar as coordenadas dos vetores u, v, w e s em relação à base β, precisamos resolver o sistema para cada vetor.
Passo 8
Vamos começar com o vetor u = (2, -2, 0). Montamos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos as coordenadas de u em β.
Passo 9
Resolvendo o sistema para u:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,
Passo 10
Repetindo o processo para o vetor v = (-2, 1, 3):
Montamos o sistema:
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,
Passo 11
Agora para o vetor w = (-3, 3, 3):
Montamos o sistema:
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,
Passo 12
Por fim, para o vetor s = (0, 0, 1):
Montamos o sistema:
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
E na segunda equação:
Então, de :
E
Então,
Resposta
A base β é uma base de , a matriz de mudança de base é:
As coordenadas dos vetores em relação à base β são: