PROVE que se é um espaço vetorial de dimensâo finita entâ qualquer base de tem sempre o mesmo número de elementos (este número é a dimecisāo de ) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se é um espaço vetorial de dimensão finita, então qualquer base de tem sempre o mesmo número de elementos. Esse número é chamado de dimensão de , denotado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ter dimensão finita e como mostrar que todas as bases têm o mesmo tamanho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, o que significa ter dimensão finita? Um espaço vetorial tem dimensão finita se existe uma base de que contém um número finito de vetores. Esse número finito é a dimensão do espaço, .
Passo 4
Vamos considerar que tem dimensão finita, ou seja, existe pelo menos uma base de com, digamos, vetores. Vamos chamar essa base de .
Passo 5
Agora, suponha que existe outra base de , chamada , com vetores. O que precisamos provar é que .
Passo 6
Para provar que , vamos usar o Teorema da Troca, que nos diz que se temos duas bases de um espaço vetorial, então o número de vetores em cada base deve ser o mesmo. Basicamente, se você tentar adicionar mais vetores a uma base, esses vetores extras podem ser expressos como combinações lineares dos vetores já existentes, o que viola a independência linear da base original.
Passo 7
Aplicando o Teorema da Troca, como e são ambas bases de , o número de vetores em deve ser igual ao número de vetores em . Ou seja, .
Resposta
Portanto, qualquer base de um espaço vetorial de dimensão finita tem sempre o mesmo número de elementos, que é igual à dimensão de , .