PROVE que se é um espaço vetorial de dimensâo finita entâ qualquer base de tem sempre o mesmo número de elementos (este número é a dimecisāo de ) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se é um espaço vetorial de dimensão finita, então qualquer base de tem sempre o mesmo número de elementos. Esse número é chamado de dimensão de , denotado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ter dimensão finita e como mostrar que todas as bases têm o mesmo tamanho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, o que significa ter dimensão finita? Um espaço vetorial tem dimensão finita se existe uma base de que contém um número finito de vetores. Esse número finito é a dimensão do espaço, .

Passo 4

Vamos considerar que tem dimensão finita, ou seja, existe pelo menos uma base de com, digamos, vetores. Vamos chamar essa base de .

Passo 5

Agora, suponha que existe outra base de , chamada , com vetores. O que precisamos provar é que .

Passo 6

Para provar que , vamos usar o Teorema da Troca, que nos diz que se temos duas bases de um espaço vetorial, então o número de vetores em cada base deve ser o mesmo. Basicamente, se você tentar adicionar mais vetores a uma base, esses vetores extras podem ser expressos como combinações lineares dos vetores já existentes, o que viola a independência linear da base original.

Passo 7

Aplicando o Teorema da Troca, como e são ambas bases de , o número de vetores em deve ser igual ao número de vetores em . Ou seja, .

Resposta

Portanto, qualquer base de um espaço vetorial de dimensão finita tem sempre o mesmo número de elementos, que é igual à dimensão de , .

Exercícios relacionados

Considere a base de e use esta fórmila para obter .
çåó
Encontre uma fórmula para e use esta fórmula para obter .
Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .
Sejam e uma lista de vetores em . Quais dos vetores são combinações lineares dos vetores da lista ?
Considere o vetor . Determine as coordenadas do vetor , que é ortogonal ao eixo , de modo que e .