PROVE que se
é um espaço vetorial de dimensâo finita entâ qualquer base de
tem sempre o mesmo número de elementos (este número é a dimecisāo de )
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se
é um espaço vetorial de dimensão finita, então qualquer base de
tem sempre o mesmo número de elementos. Esse número é chamado de dimensão de
, denotado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ter dimensão finita e como mostrar que todas as bases têm o mesmo tamanho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, o que significa ter dimensão finita? Um espaço vetorial
tem dimensão finita se existe uma base de
que contém um número finito de vetores. Esse número finito é a dimensão do espaço,
.
Passo 4
Vamos considerar que
tem dimensão finita, ou seja, existe pelo menos uma base de
com, digamos,
vetores. Vamos chamar essa base de
.
Passo 5
Agora, suponha que existe outra base de
, chamada
, com
vetores. O que precisamos provar é que
.
Passo 6
Para provar que
, vamos usar o Teorema da Troca, que nos diz que se temos duas bases de um espaço vetorial, então o número de vetores em cada base deve ser o mesmo. Basicamente, se você tentar adicionar mais vetores a uma base, esses vetores extras podem ser expressos como combinações lineares dos vetores já existentes, o que viola a independência linear da base original.
Passo 7
Aplicando o Teorema da Troca, como
e
são ambas bases de
, o número de vetores em
deve ser igual ao número de vetores em
. Ou seja,
.
Resposta
Portanto, qualquer base de um espaço vetorial de dimensão finita
tem sempre o mesmo número de elementos, que é igual à dimensão de
,
.