Encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos encontrar uma matriz que diagonalize ortogonalmente a matriz fornecida. Isso envolve conceitos de diagonalização de matrizes simétricas, cálculo de autovalores e autovetores, e garantia de que os vetores sejam ortonormais. Para resolver, vamos calcular os autovalores de e seus respectivos autovetores, e então montar a matriz com esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3 e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante:
Expandindo e resolvendo, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para , resolvemos :
A solução é qualquer múltiplo do vetor:

Passo 5

Para , resolvemos :
Encontramos dois vetores ortogonais, por exemplo:

Passo 6

Finalmente, montamos a matriz com os autovetores ortonormais como colunas:

Resposta

A matriz que diagonaliza ortogonalmente é:

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Seja definida por .
(b) Encontre .
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de
interseção:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e) e
f) e
Considere a base de , em que e e seja a transformação linear tal que
Encontre uma fórmula para e use essa fórmula para obter .
Encontre uma matriz que diagonalize