Encontre uma matriz P que diagonaliza ortogonalmente
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos encontrar uma matriz que diagonalize ortogonalmente a matriz fornecida. Isso envolve conceitos de diagonalização de matrizes simétricas, cálculo de autovalores e autovetores, e garantia de que os vetores sejam ortonormais. Para resolver, vamos calcular os autovalores de e seus respectivos autovetores, e então montar a matriz com esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3 e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante:
det(ccc 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda ) = 0
Expandindo e resolvendo, obtemos a equação característica:
(2 - lambda)^3 - 3(2 - lambda) + 2 = 0
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:
lambda1 = 3 e lambda2 = lambda3 = 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para [ccc -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 ]v = 0 , resolvemos v1 = 1raiz3111 :
A solução é qualquer múltiplo do vetor:

Passo 5

Para [ccc 1 & -1 & -1 -1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1 ]v = 0 , resolvemos v2 = 1raiz21-10 e v3 = 1raiz611-2 :
Encontramos dois vetores ortogonais, por exemplo:

Passo 6

Finalmente, montamos a matriz P = 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6 1raiz3 & -1raiz2 & 1raiz6 1raiz3 & 0 & -2raiz6 com os autovetores ortonormais como colunas:

Resposta

A matriz P = 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6 1raiz3 & -1raiz2 & 1raiz6 1raiz3 & 0 & -2raiz6 que diagonaliza ortogonalmente é:

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