Encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos encontrar uma matriz que diagonalize ortogonalmente a matriz fornecida. Isso envolve conceitos de diagonalização de matrizes simétricas, cálculo de autovalores e autovetores, e garantia de que os vetores sejam ortonormais. Para resolver, vamos calcular os autovalores de e seus respectivos autovetores, e então montar a matriz com esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3 e representa os autovalores.
Passo 3
Calculando o determinante:
Expandindo e resolvendo, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para , resolvemos :
A solução é qualquer múltiplo do vetor:
Passo 5
Para , resolvemos :
Encontramos dois vetores ortogonais, por exemplo:
Passo 6
Finalmente, montamos a matriz com os autovetores ortonormais como colunas: