Seja
definida por
.
(b) Encontre
.
(b) Encontre
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde uma transformação linear
mapeia vetores do espaço bidimensional
para o espaço tridimensional
. A definição dessa transformação é
. A tarefa aqui é descobrir qual é a transformação inversa
, ou seja, encontrar uma maneira de voltar de
para
usando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação inversa. Em Álgebra Linear, uma transformação linear
tem uma inversa
se e somente se
for bijetora, ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que cada vetor em
tem exatamente um vetor correspondente em
.
Passo 3
No nosso caso,
vai de
para
. Aqui,
tem dimensão 2 e
tem dimensão 3. Uma transformação de um espaço menor para um espaço maior nunca pode ser sobrejetora porque não há vetores suficientes em
para cobrir todo
. Além disso, não pode ser injetora se o espaço de chegada é maior.
Passo 4
Como
não é bijetora, não existe uma transformação inversa
que funcione para todo
. Ou seja, não conseguimos voltar de
para
de forma única usando
.
Resposta
A transformação
não possui uma inversa
porque não é bijetora, já que mapeia de um espaço de menor dimensão (
) para um espaço de maior dimensão (
).