Seja T: R^2 longrightarrow R^3 definida por T(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y).
(b) Encontre T^-1.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde uma transformação linear mapeia vetores do espaço bidimensional para o espaço tridimensional . A definição dessa transformação é . A tarefa aqui é descobrir qual é a transformação inversa , ou seja, encontrar uma maneira de voltar de para usando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação inversa. Em Álgebra Linear, uma transformação linear tem uma inversa se e somente se for bijetora, ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que cada vetor em tem exatamente um vetor correspondente em .

Passo 3

No nosso caso, vai de para . Aqui, tem dimensão 2 e tem dimensão 3. Uma transformação de um espaço menor para um espaço maior nunca pode ser sobrejetora porque não há vetores suficientes em para cobrir todo . Além disso, não pode ser injetora se o espaço de chegada é maior.

Passo 4

Como não é bijetora, não existe uma transformação inversa que funcione para todo . Ou seja, não conseguimos voltar de para de forma única usando .

Resposta

A transformação não possui uma inversa porque não é bijetora, já que mapeia de um espaço de menor dimensão ( ) para um espaço de maior dimensão ( ).

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