Considere a base de , onde e e seja o operador linear tal que
Encontre uma formula para e use esta fórmula para obter .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A questão fala sobre um operador linear que atua em vetores do espaço . A base é dada, e sabemos como transforma cada um desses vetores da base. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para e depois usar essa fórmula para calcular . Vamos precisar usar conceitos de base, combinação linear e operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
onde , e são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir os valores das bases:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e :
Da terceira equação, já temos .
Substituindo na segunda equação: → .
Substituindo e na primeira equação: → .
Então:
Passo 5
Sabendo como atua em cada vetor da base, podemos escrever como:
Substituindo os valores de , e :
Passo 6
Vamos agora calcular cada componente dessa expressão:
Passo 7
Portanto, a fórmula geral para é:
Passo 8
Agora, vamos usar essa fórmula para calcular :
Resposta
A fórmula para é . Usando essa fórmula, temos que .