Considere a base de , onde e e seja o operador linear tal que
Encontre uma formula para e use esta fórmula para obter .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A questão fala sobre um operador linear que atua em vetores do espaço . A base é dada, e sabemos como transforma cada um desses vetores da base. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para e depois usar essa fórmula para calcular . Vamos precisar usar conceitos de base, combinação linear e operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
onde , e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores das bases:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e :
  1. Da terceira equação, já temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .
Então:

Passo 5

Sabendo como atua em cada vetor da base, podemos escrever como:
Substituindo os valores de , e :

Passo 6

Vamos agora calcular cada componente dessa expressão:

Passo 7

Portanto, a fórmula geral para é:

Passo 8

Agora, vamos usar essa fórmula para calcular :

Resposta

A fórmula para é . Usando essa fórmula, temos que .

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