Considere a base S=v1, v2, v3 de R^3, onde v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3=(1,0,0) e seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que
l T(v1)=(2,-1,4), T(v2)=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3=(1,0,0,1), T(v3)=(-1,5,1)
Encontre uma formula para T(x1, x2, x3) e use esta fórmula para obter T(2,4,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A questão fala sobre um operador linear que atua em vetores do espaço . A base é dada, e sabemos como transforma cada um desses vetores da base. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para e depois usar essa fórmula para calcular . Vamos precisar usar conceitos de base, combinação linear e operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que qualquer vetor x = a,v1 + b,v2 + c,v3 em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
onde , e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores das bases:
x1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 x2 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 x3 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0
Simplificando, temos:
x1 = a + b + c x2 = a + b x3 = a

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar a = x3, b = x2 - x3, c = x1 - x2 , e em termos de , e :
  1. Da terceira equação, já temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .
Então:

Passo 5

Sabendo como T(x) = a,T(v1) + b,T(v2) + c,T(v3) atua em cada vetor da base, podemos escrever T(x) = x3 cdot (2, -1, 4) + (x2 - x3) cdot (1, 1, 1) + (x1 - x2) cdot (-1, 5, 1) como:
Substituindo os valores de , e :

Passo 6

Vamos agora calcular cada componente dessa expressão:
T(x) &= x3 cdot (2, -1, 4) + (x2 - x3) cdot (1, 1, 1) + (x1 - x2) cdot (-1, 5, 1) &= (2x3, -x3, 4x3) + (x2 - x3, x2 - x3, x2 - x3) + (-x1 + x2, 5x1 - 5x2, x1 - x2) &= (2x3 + x2 - x3 - x1 + x2, & -x3 + x2 - x3 + 5x1 - 5x2, & 4x3 + x2 - x3 + x1 - x2) &= ( -x1 + 2x2 + x3, & 5x1 - 4x2 - 2x3, & x1 + 3x3 )

Passo 7

Portanto, a fórmula geral para T(x1, x2, x3) = (-x1 + 2x2 + x3, 5x1 - 4x2 - 2x3, x1 + 3x3) é:

Passo 8

Agora, vamos usar essa fórmula para calcular T(2, 4, -1) &= (-2 + 2 cdot 4 + (-1), 5 cdot 2 - 4 cdot 4 - 2 cdot (-1), 2 + 3 cdot (-1)) &= (-2 + 8 -1, 10 -16 + 2, 2 -3) &= (5, -4, -1) :

Resposta

A fórmula para é . Usando essa fórmula, temos que .

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