Dados o ponto A(2,-3,4) e o plano alpha : -5 x+2 y-z+3=0.
Determinar as equações reduzidas da reta que passa por A e é paralela à reta intersecção entre o plano alpha e o plano Oxy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto e um plano dado por . A questão pede para encontrar as equações reduzidas de uma reta que passa por e é paralela à reta de interseção entre o plano e o plano (o plano XY). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a direção da reta de interseção e depois usar isso para determinar a reta que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a reta de interseção entre o plano -5x + 2y - 0 + 3 = 0 implies -5x + 2y + 3 = 0 e o plano . O plano é definido pela equação . Para encontrar a interseção, substituímos na equação do plano :
Essa é a equação de uma reta no plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a direção dessa reta. A equação 2y = 5x - 3 implies y = 52x - 32 pode ser escrita em termos de :
Aqui, o coeficiente de é , que nos dá a inclinação da reta. A direção dessa reta é representada pelo vetor diretor , onde escolhemos para facilitar.

Passo 4

Queremos uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta de direção . Como as retas são paralelas, elas compartilham o mesmo vetor diretor. Portanto, a reta que buscamos tem o vetor diretor .

Passo 5

Com o ponto x = 2 + 2t y = -3 + 5t z = 4 + 0t e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 6

Para obter as equações reduzidas da reta, eliminamos o parâmetro t = x - 22 e t = y + 35 . A partir das equações paramétricas:
x - 22 = y + 35
Igualando as duas expressões para x - 22 = y + 35 e z = 4 :
Assim, as equações reduzidas da reta são:

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
x - 22 = y + 35 e z = 4

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