Considere o vetor . Determine as coordenadas do vetor , que é ortogonal ao eixo , de modo que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor e pede para encontrar as coordenadas de um vetor que seja ortogonal ao eixo . Além disso, precisamos que o módulo do produto vetorial seja igual a e que o produto escalar seja igual a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto escalar de vetores, além de entender o que significa um vetor ser ortogonal a um eixo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor é ortogonal ao eixo . Um vetor é ortogonal a um eixo se o seu produto escalar com o vetor diretor desse eixo for zero. O vetor diretor do eixo é . Então:
Seja . Calculando o produto escalar:
Portanto, o vetor tem a forma:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição do produto escalar. Substituindo e :
Resolvendo para :
Então, agora sabemos que:
Passo 4
Vamos agora usar a condição do produto vetorial. Primeiro, vamos calcular o produto vetorial .
Seja e . O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial e igualar a :
Igualando a :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando :
Então:
Subtraindo 144 de ambos os lados:
Dividindo por 10:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Então, temos duas possibilidades para : ou . Vamos considerar cada caso:
Caso 1:
Então, o vetor é:
Caso 2:
Então, o vetor é:
Ambas as soluções satisfazem as condições dadas na questão.