Considere o vetor v1=(3,0,-1). Determine as coordenadas do vetor v, que é ortogonal ao eixo x, de modo que |v times v1|=6 raiz14 e v cdot v1=-4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor v1 = (3, 0, -1) e pede para encontrar as coordenadas de um vetor v que seja ortogonal ao eixo x. Além disso, precisamos que o módulo do produto vetorial |v times v1| seja igual a 6 raiz14 e que o produto escalar v cdot v1 seja igual a -4.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto escalar de vetores, além de entender o que significa um vetor ser ortogonal a um eixo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor v é ortogonal ao eixo x. Um vetor é ortogonal a um eixo se o seu produto escalar com o vetor diretor desse eixo for zero. O vetor diretor do eixo x é (1, 0, 0). Então:
v cdot (1, 0, 0) = 0
Seja v = (vx, vy, vz). Calculando o produto escalar:
vx cdot 1 + vy cdot 0 + vz cdot 0 = 0 Rightarrow vx = 0
Portanto, o vetor v tem a forma:
v = (0, vy, vz)

Passo 3

Agora, vamos usar a condição do produto escalar v cdot v1 = -4. Substituindo v e v1:
(0, vy, vz) cdot (3, 0, -1) = 0 cdot 3 + vy cdot 0 + vz cdot (-1) = -vz = -4
Resolvendo para vz:
-vz = -4 Rightarrow vz = 4
Então, agora sabemos que:
v = (0, vy, 4)

Passo 4

Vamos agora usar a condição do produto vetorial |v times v1| = 6 raiz14. Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times v1.
Seja v = (0, vy, 4) e v1 = (3, 0, -1). O produto vetorial é dado por:
v times v1 = i & j & k 0 & vy & 4 3 & 0 & -1
Calculando o determinante:
i(vy cdot (-1) - 4 cdot 0) - j(0 cdot (-1) - 4 cdot 3) + k(0 cdot 0 - vy cdot 3)
Simplificando:
v times v1 = (-vy)i - (-12)j + (-3vy)k = (-vy, 12, -3vy)

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial e igualar a 6 raiz14:
|v times v1| = raiz(-vy)^2 + 12^2 + (-3vy)^2 = raizvy^2 + 144 + 9vy^2 = raiz10vy^2 + 144
Igualando a 6 raiz14:
raiz10vy^2 + 144 = 6 raiz14
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
10vy^2 + 144 = 36 cdot 14
Calculando 36 cdot 14:
36 cdot 14 = 504
Então:
10vy^2 + 144 = 504
Subtraindo 144 de ambos os lados:
10vy^2 = 360
Dividindo por 10:
vy^2 = 36
Tirando a raiz quadrada:
vy = pm 6

Passo 6

Então, temos duas possibilidades para vy: 6 ou -6. Vamos considerar cada caso:
  1. Caso 1: vy = 6
    Então, o vetor v é:
    v = (0, 6, 4)
  2. Caso 2: vy = -6
    Então, o vetor v é:
    v = (0, -6, 4)
Ambas as soluções satisfazem as condições dadas na questão.

Resposta

As coordenadas do vetor v são (0, 6, 4) ou (0, -6, 4).

Exercícios relacionados