Considere a base S=v1, v2, v3 de R^3, em que v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3=(1,0,0). Seja T: R^3 R^4 a transformação linear tal que
T(v1)=(1,-2,0,0), T(v2)=(-4,1,1,1), T(v3)=(0,0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! Temos uma base T(v1) = (1, -2, 0, 0), T(v2) = (-4, 1, 1, 1), T(v3) = (0, 0, 1, 1) de onde:
Também temos uma transformação linear definida por:
O que precisamos fazer aqui é encontrar a matriz da transformação linear em relação à base . Para isso, vamos seguir alguns passos simples!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o resultado da transformação. No nosso caso, como vai de para , a matriz de será uma matriz de .

Passo 3

Sabemos que para cada vetor da base Matriz de T = T(v1) & T(v2) & T(v3) , a transformação nos dá a imagem desse vetor. Essas imagens serão as colunas da matriz de .
Então, vamos organizar as imagens de como colunas da matriz:

Passo 4

Agora, vamos colocar os vetores que Matriz de T = 1 & -4 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 nos deu nas colunas da matriz:

Resposta

A matriz da transformação linear 1 & -4 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 em relação à base é:

Exercícios relacionados