Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(a)
, onde
.
(a)
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformação linear, além de saber como verificar cada uma dessas propriedades em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição de vetores:
para todos os vetores . - Multiplicação por escalar:
para todo escalar e vetor .
Vamos testar essas propriedades para
.
Adição de vetores:
Seja e
,
Seja
Por outro lado,
Como
, a primeira propriedade é satisfeita.
Multiplicação por escalar:
Seja um escalar e
,
Seja
Assim, a segunda propriedade também é satisfeita.
Portanto,
é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é injetora. Uma função é injetora se vetores diferentes no domínio são mapeados para vetores diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se
implica que
.
Suponha que
. Então,
Isso nos dá o sistema de equações:
A partir de
, sabemos que os valores de
são iguais. Porém, da segunda equação, apenas a soma de
e
é igual, mas isso não garante que
e
individualmente. Por exemplo,
e
serão mapeados para o mesmo valor
, mas são vetores diferentes. Portanto,
não é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo vetor no contradomínio existe pelo menos um vetor no domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo
, existe
tal que
.
Dado
, precisamos encontrar
tal que:
Podemos escolher, por exemplo,
,
e
. Assim,
Como sempre conseguimos encontrar um vetor no domínio que mapeia para qualquer vetor no contradomínio,
é sobrejetora.
Passo 5
Com base nas análises anteriores, podemos concluir sobre as propriedades de
:
- Transformação linear: Sim,
é linear. - Injetora: Não,
não é injetora. - Sobrejetora: Sim,
é sobrejetora. - Bijetora: Para ser bijetora, a função precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora. Como
não é injetora, ela não é bijetora.
Resposta
A aplicação
, definida por
, é uma transformação linear e sobrejetora, mas não é injetora nem bijetora.