Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(a) F: R^3 R^2, onde F(x, y, z)=(z, x+y).

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformação linear, além de saber como verificar cada uma dessas propriedades em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (z1 + z2, (x1 + x2) + (y1 + y2)) é uma transformação linear. Uma função F(u) + F(v) = (z1, x1 + y1) + (z2, x2 + y2) = (z1 + z2, x1 + y1 + x2 + y2) é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de vetores: F(cu) = F(cx, cy, cz) = (cz, cx + cy) = c(z, x + y) = cF(u) para todos os vetores .
  2. Multiplicação por escalar: para todo escalar e vetor .
Vamos testar essas propriedades para .
Adição de vetores:
Seja e ,
Por outro lado,
Como , a primeira propriedade é satisfeita.
Multiplicação por escalar:
Seja um escalar e ,
Assim, a segunda propriedade também é satisfeita.
Portanto, é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (z1, x1 + y1) = (z2, x2 + y2) é injetora. Uma função é injetora se vetores diferentes no domínio são mapeados para vetores diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se z1 = z2 implica que x1 + y1 = x2 + y2 .
Suponha que . Então,
Isso nos dá o sistema de equações:
A partir de , sabemos que os valores de são iguais. Porém, da segunda equação, apenas a soma de e é igual, mas isso não garante que e individualmente. Por exemplo, e serão mapeados para o mesmo valor , mas são vetores diferentes. Portanto, não é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se z = a é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo vetor no contradomínio existe pelo menos um vetor no domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo x + y = b , existe F(0, b, a) = (a, 0 + b) = (a, b) tal que .
Dado , precisamos encontrar tal que:
Podemos escolher, por exemplo, , e . Assim,
Como sempre conseguimos encontrar um vetor no domínio que mapeia para qualquer vetor no contradomínio, é sobrejetora.

Passo 5

Com base nas análises anteriores, podemos concluir sobre as propriedades de :
  • Transformação linear: Sim, é linear.
  • Injetora: Não, não é injetora.
  • Sobrejetora: Sim, é sobrejetora.
  • Bijetora: Para ser bijetora, a função precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora. Como não é injetora, ela não é bijetora.

Resposta

A aplicação , definida por , é uma transformação linear e sobrejetora, mas não é injetora nem bijetora.

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