Seja
o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual que
. Para cada um dos itens seguintes seja
o conjunto dos polinômios em
satisfazendo a condição dada. Determine se
é um subespaço de
. Se
for um subspaço calcule a dimensão de
.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar um conjunto
de polinômios que pertencem a
(ou seja, polinômios de grau no máximo
) e que satisfazem a condição
. Nosso objetivo é descobrir se
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto satisfaz as propriedades necessárias. Se for um subespaço, também vamos calcular a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
?
O vetor zero em
é o polinômio zero,
. Vamos verificar se ele satisfaz a condição
.
Derivando
, temos
. Portanto,
, o que satisfaz a condição. Logo, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Sejam
e
dois polinômios em
. Isso significa que
e
.
Vamos verificar se
também está em
:
Derivando
, temos
.
Portanto,
.
Assim,
também satisfaz a condição
e está em
.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja
um polinômio em
e
um escalar qualquer. Precisamos verificar se
está em
.
Derivando
, temos
.
Então,
.
Portanto,
também satisfaz a condição
e está em
.
Passo 6
Como
satisfaz todas as três propriedades (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é um subespaço de
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a dimensão de
. Sabemos que
tem dimensão
(pois os polinômios podem ter grau de 0 até
). A condição
impõe uma restrição linear no espaço.
Para encontrar a dimensão de
, vamos determinar quantos parâmetros livres temos para escolher os polinômios em
.
Um polinômio geral em
pode ser escrito como:
Derivando, temos:
Impondo
:
Isso significa que
deve ser zero. Portanto, temos
parâmetros livres (
).
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e sua dimensão é
.