Seja Pn o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual que n. Para cada um dos itens seguintes seja S o conjunto dos polinômios em Pk satisfazendo a condição dada. Determine se S é um subespaço de Pn. Se S for um subspaço calcule a dimensão de S.
(b) p^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar um conjunto de polinômios que pertencem a (ou seja, polinômios de grau no máximo ) e que satisfazem a condição . Nosso objetivo é descobrir se é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto satisfaz as propriedades necessárias. Se for um subespaço, também vamos calcular a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. O vetor zero está em ?
O vetor zero em é o polinômio zero, . Vamos verificar se ele satisfaz a condição .
Derivando , temos . Portanto, , o que satisfaz a condição. Logo, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Sejam e dois polinômios em . Isso significa que e .
Vamos verificar se também está em :
Derivando , temos .
Portanto, .
Assim, também satisfaz a condição e está em .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja um polinômio em e um escalar qualquer. Precisamos verificar se está em .
Derivando , temos .
Então, .
Portanto, também satisfaz a condição e está em .

Passo 6

Como satisfaz todas as três propriedades (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço de .

Passo 7

Agora, vamos calcular a dimensão de p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + dots + ak x^k . Sabemos que p^prime(x) = a1 + 2 a2 x + dots + k ak x^k-1 tem dimensão p^prime(0) = a1 = 0 (pois os polinômios podem ter grau de 0 até ). A condição impõe uma restrição linear no espaço.
Para encontrar a dimensão de , vamos determinar quantos parâmetros livres temos para escolher os polinômios em .
Um polinômio geral em pode ser escrito como:
Derivando, temos:
Impondo :
Isso significa que deve ser zero. Portanto, temos parâmetros livres ( ).

Resposta

O conjunto é um subespaço de e sua dimensão é .

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