Seja T: R^2 R^2 o operador linear dado pela fórmula
T(x, y)=(2 x-y,-8 x+4 y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear T(x, y) = (2x - y, -8x + 4y) definido pela fórmula
O conteúdo que vamos precisar aqui envolve operadores lineares, matrizes associadas, determinante e possivelmente autovalores. Vamos precisar entender como representar esse operador como uma matriz e depois calcular essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Lembre-se que, para um operador linear , podemos associar uma matriz tal que .
No nosso caso, como vai de para , a matriz associada será .

Passo 3

Vamos encontrar os elementos da matriz T(x, y) = (2x - y, -8x + 4y) . Observando a definição de A = 2 & -1 -8 & 4 , temos:
Isso significa que:
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de e nas respectivas componentes de .

Passo 4

Agora que temos a matriz det(A) = ad - bc , vamos calcular o determinante dela. O determinante de uma matriz a & b c & d é dado por:
a = 2, b = -1, c = -8, d = 4
onde det(A) = (2)(4) - (-1)(-8) = 8 - 8 = 0 .
Para nossa matriz:
Então,

Passo 5

O determinante sendo zero indica que a matriz não é invertível. Isso também significa que o operador linear não é um isomorfismo, ou seja, ele não é bijetivo.

Passo 6

Podemos também calcular os autovalores de det(A - lambda I) = 0 para entender mais sobre a transformação A - lambda I = 2 - lambda & -1 -8 & 4 - lambda . Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = (2 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(-8) = (2 - lambda)(4 - lambda) - 8 que satisfazem a equação:
(2 - lambda)(4 - lambda) = 8 - 6lambda + lambda^2
onde lambda^2 - 6lambda + 8 - 8 = lambda^2 - 6lambda é a matriz identidade.
Calculando lambda^2 - 6lambda = 0 Rightarrow lambda(lambda - 6) = 0 :
lambda1 = 0 e lambda2 = 6
Então,
Expandindo:
Então,
Portanto,
Assim, os autovalores são:

Passo 7

Com os autovalores, podemos entender melhor o comportamento do operador . Por exemplo, um autovalor zero indica que existe uma direção na qual a transformação “apaga” os vetores, enquanto o autovalor seis indica uma dilatação nessa direção.

Resposta

A matriz associada ao operador linear A = 2 & -1 -8 & 4 é
O determinante de é zero, indicando que não é invertível. Além disso, os autovalores de são e .

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