Seja
o operador linear dado pela fórmula
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear
definido pela fórmula
O conteúdo que vamos precisar aqui envolve operadores lineares, matrizes associadas, determinante e possivelmente autovalores. Vamos precisar entender como representar esse operador como uma matriz e depois calcular essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Lembre-se que, para um operador linear
, podemos associar uma matriz
tal que
.
No nosso caso, como
vai de
para
, a matriz associada será
.
Passo 3
Vamos encontrar os elementos da matriz
. Observando a definição de
, temos:
Isso significa que:
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de
e
nas respectivas componentes de
.
Passo 4
Agora que temos a matriz
, vamos calcular o determinante dela. O determinante de uma matriz
é dado por:
onde
.
Para nossa matriz:
Então,
Passo 5
O determinante sendo zero indica que a matriz
não é invertível. Isso também significa que o operador linear
não é um isomorfismo, ou seja, ele não é bijetivo.
Passo 6
Podemos também calcular os autovalores de
para entender mais sobre a transformação
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação:
onde
é a matriz identidade.
Calculando
:
Então,
Expandindo:
Então,
Portanto,
Assim, os autovalores são:
Passo 7
Com os autovalores, podemos entender melhor o comportamento do operador
. Por exemplo, um autovalor zero indica que existe uma direção na qual a transformação “apaga” os vetores, enquanto o autovalor seis indica uma dilatação nessa direção.
Resposta
A matriz associada ao operador linear
é
O determinante de
é zero, indicando que
não é invertível. Além disso, os autovalores de
são
e
.