Decomponha o vetor v=e1+2 e2+e3 na soma dos vetores u e v de modo que u seja paralelo à reta x-22=y-1-3=z+1 e w seja perpendicular à esta reta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v = e1 + 2 e2 + e3 e precisamos decompor esse vetor na soma de dois vetores: u e w. A condição é que u seja paralelo a uma reta específica, e w seja perpendicular a essa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e perpendiculares, além de projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta dada pela equação x-22 = y-1-3 = z+1. A direção dessa reta é dada pelo vetor diretor, que aqui é d = (2, -3, 1). Isso significa que qualquer vetor paralelo a essa reta será um múltiplo desse vetor diretor.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o vetor u que é paralelo à reta. Isso significa que u deve ser um múltiplo do vetor diretor d. Para encontrar esse múltiplo, usamos a projeção do vetor v sobre d. A fórmula para a projeção de v em d é:
u = ( v cdot dd cdot d ) d

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot d:
v cdot d = (1)(2) + (2)(-3) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3
Em seguida, calculamos d cdot d:
d cdot d = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 4 + 9 + 1 = 14

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção para encontrar u:
u = ( -314 ) d = ( -314 ) (2, -3, 1) = ( -614, 914, -314 ) = ( -37, 914, -314 )

Passo 6

Com o vetor u encontrado, agora encontramos o vetor w que é perpendicular à reta. Sabemos que v = u + w, então basta subtrair u de v:
w = v - u = (1, 2, 1) - ( -37, 914, -314 ) = (1 + 37, 2 - 914, 1 + 314)
Simplificando as frações:
w = ( 107, 1914, 1714 )

Resposta

A decomposição do vetor v é:
v = u + w = ( -37, 914, -314 ) + ( 107, 1914, 1714 )

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