Considere as bases
e
do
, e a transformaçào linear
tal que
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre transformações lineares e como representá-las usando diferentes bases no espaço bidimensional, ou seja, no
. A gente tem duas bases diferentes:
que é a base padrão, e
. Além disso, a transformação linear
é dada por uma matriz em relação a essas bases. Nosso objetivo aqui é descobrir como
atua sobre qualquer vetor
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa notação representa a matriz da transformação linear
que transforma vetores da base
para a base
. No nosso caso, como só temos duas bases mencionadas, vamos supor que
.
Então, temos:
Isso significa que, quando aplicamos
a um vetor representado na base
, a imagem será representada na base
usando essa matriz.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos seguir alguns passos:
- Expressar o vetor
na base . - Aplicar a matriz
a esse vetor na base . - Converter o resultado de volta para as coordenadas padrão na base
.
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos expressar
na base
. A base
é formada pelos vetores
e
. Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Então, na base
, as coordenadas de
são
.
Passo 5
Agora, aplicamos a matriz
a esse vetor
:
Fazendo a multiplicação:
Então, na base
, o resultado é
.
Passo 6
Finalmente, como a base
é a base padrão, as coordenadas obtidas são exatamente as coordenadas no espaço
. Portanto, a transformação
aplicada a
é: