Considere as bases alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,-1),(0,1) do R^2, e a transformaçào linear T: R^2 longrightarrow R^2 tal que [T]de.
Determine T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre transformações lineares e como representá-las usando diferentes bases no espaço bidimensional, ou seja, no . A gente tem duas bases diferentes: que é a base padrão, e . Além disso, a transformação linear é dada por uma matriz em relação a essas bases. Nosso objetivo aqui é descobrir como atua sobre qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa [T]beta^alpha = 0 & -1 -1 & 5 . Essa notação representa a matriz da transformação linear que transforma vetores da base para a base . No nosso caso, como só temos duas bases mencionadas, vamos supor que .
Então, temos:
Isso significa que, quando aplicamos a um vetor representado na base , a imagem será representada na base usando essa matriz.

Passo 3

Para encontrar , precisamos seguir alguns passos:
  1. Expressar o vetor na base .
  2. Aplicar a matriz a esse vetor na base .
  3. Converter o resultado de volta para as coordenadas padrão na base .
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos expressar (x, y) = a(1, -1) + b(0, 1) na base x = a cdot 1 + b cdot 0 y = a cdot (-1) + b cdot 1 . A base x = a y = -a + b Rightarrow b = y + a = y + x é formada pelos vetores e . Queremos encontrar coeficientes e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Então, na base , as coordenadas de são .

Passo 5

Agora, aplicamos a matriz [T]beta^alpha cdot x y + x = 0 & -1 -1 & 5 cdot x y + x a esse vetor 0 cdot x + (-1) cdot (y + x) = -y - x -1 cdot x + 5 cdot (y + x) = -x + 5y + 5x = 4x + 5y :
Fazendo a multiplicação:
Então, na base , o resultado é .

Passo 6

Finalmente, como a base T(x, y) = (-x - y, 4x + 5y) é a base padrão, as coordenadas obtidas são exatamente as coordenadas no espaço . Portanto, a transformação aplicada a é:

Resposta

T(x, y) = (-x - y, , 4x + 5y)

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