Considere o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(8 z, x, y). Determine o polinômio característico, o(s) autovalor(es) e o(s) autoespaço(s) de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por . A tarefa é encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e conceitos de álgebra linear como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, para trabalhar com esse operador linear, vamos representá-lo como uma matriz. A transformação T = 0 & 0 & 8 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, para encontrar o polinômio característico de T - lambda I = - lambda & 0 & 8 1 & -lambda & 0 0 & 1 & -lambda , usamos a fórmula , onde é a matriz identidade e é um escalar (autovalor). Subtraímos da diagonal principal da matriz :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
det(T - lambda I) = -lambda ( (-lambda)(-lambda) - 0 cdot 1 ) - 0 ( 1 cdot (-lambda) - 0 cdot 0 ) + 8 ( 1 cdot 1 - (-lambda) cdot 0 )
Simplificando:
det(T - lambda I) = -lambda (lambda^2) + 0 + 8 cdot 1 = -lambda^3 + 8
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 8

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica -lambda^3 + 8 = 0 Rightarrow lambda^3 = 8 Rightarrow lambda = 2 :
Assim, o único autovalor real de é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autoespaço correspondente a T - 2I = -2 & 0 & 8 1 & -2 & 0 0 & 1 & -2 . Para isso, resolvemos -2x + 0y + 8z = 0 1x - 2y + 0z = 0 0x + 1y - 2z = 0 , onde é o autovetor.
Primeiro, calculamos :
Então, temos o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: .
  2. Da segunda equação: . Substituindo por : .
  3. Da primeira equação: . Substituindo por : , que confirma a consistência das soluções.

Passo 8

Então, os autovetores são todos os vetores da forma v = z cdot (4, 2, 1) , onde é um escalar qualquer diferente de zero. Podemos escrever isso como:
Portanto, o autoespaço correspondente a é gerado pelo vetor .

Resposta

O polinômio característico de é . O único autovalor real de é , e o autoespaço correspondente é formado pelos vetores múltiplos de .

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