Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespços de , chamados e . A tarefa é achar a interseção desses dois subespaços, ou seja, os vetores que estão em ambos, , e também determinar a dimensão da soma desses subespaços, .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor cada subespaço.
é formado por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que é um plano no espaço tridimensional.
é formado por vetores do tipo , onde é um número real. Esse conjunto forma uma linha passando pela origem em .
Passo 3
Vamos achar , ou seja, os vetores que estão tanto em quanto em . Para isso, precisamos encontrar valores de que fazem com que satisfaça a equação de .
Sabemos que em , . Substituindo os componentes de :
Essa equação só é verdadeira se . Então, o único vetor que está em ambos os subespaços é , que é o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos determinar a dimensão de . A soma de dois subespaços consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
A dimensão de pode ser encontrada usando a fórmula: