Considere os seguintes subespacos do R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3 mid z=2 x+y e W2=(a, a, 4 a) in R^3 mid a in R
Determine W1 cap W2 e a dimensão de W1+W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespços de , chamados e . A tarefa é achar a interseção desses dois subespaços, ou seja, os vetores que estão em ambos, , e também determinar a dimensão da soma desses subespaços, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor cada subespaço.
  • é formado por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que é um plano no espaço tridimensional.
  • é formado por vetores do tipo , onde é um número real. Esse conjunto forma uma linha passando pela origem em .

Passo 3

Vamos achar 4a = 2(a) + a , ou seja, os vetores que estão tanto em 4a = 3a quanto em . Para isso, precisamos encontrar valores de que fazem com que satisfaça a equação de .
Sabemos que em , . Substituindo os componentes de :
Essa equação só é verdadeira se . Então, o único vetor que está em ambos os subespaços é , que é o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos determinar a dimensão de dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2) . A soma de dois subespaços dim(W1 + W2) = 2 + 1 - 0 = 3 consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
A dimensão de pode ser encontrada usando a fórmula:
Sabemos que:
  • (porque é um plano)
  • (porque é uma linha)
  • (já vimos que a interseção é apenas o vetor zero)
Substituindo na fórmula:

Resposta

e a dimensão de é .

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