Considere os seguintes subespacos do
:
Determine
e a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespços de
, chamados
e
. A tarefa é achar a interseção desses dois subespaços, ou seja, os vetores que estão em ambos,
, e também determinar a dimensão da soma desses subespaços,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor cada subespaço.
-
é formado por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que é um plano no espaço tridimensional. -
é formado por vetores do tipo , onde é um número real. Esse conjunto forma uma linha passando pela origem em .
Passo 3
Vamos achar
, ou seja, os vetores que estão tanto em
quanto em
. Para isso, precisamos encontrar valores de
que fazem com que
satisfaça a equação de
.
Sabemos que em
,
. Substituindo os componentes de
:
Essa equação só é verdadeira se
. Então, o único vetor que está em ambos os subespaços é
, que é o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos determinar a dimensão de
. A soma de dois subespaços
consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
A dimensão de
pode ser encontrada usando a fórmula:
Sabemos que:
-
(porque é um plano) -
(porque é uma linha) -
(já vimos que a interseção é apenas o vetor zero)
Substituindo na fórmula: