Determine a forma escada da matriz ampliada e o conjunto soluçio do sistema linear:
x-2 y-5 z+2 t & =0 -x+y-5 z-4 t & =-10 2 x-3 y+6 t & =10

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que temos aqui. Você tem um sistema de três equações lineares com quatro variáveis . Nosso objetivo é transformar a matriz ampliada desse sistema em forma escada (ou seja, uma matriz onde os primeiros elementos de cada linha não-nula estão à direita dos da linha anterior) e, depois, encontrar o conjunto solução desse sistema. Para isso, vamos precisar usar operações de linha, que são maneiras de manipular a matriz sem mudar as soluções do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:
1 & -2 & -5 & 2 & | & 0 -1 & 1 & -5 & -4 & | & -10 2 & -3 & 0 & 6 & | & 10

Passo 3

Vamos começar a transformar essa matriz em forma escada usando operações de linha. O primeiro objetivo é ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha (já temos isso) e zeros abaixo dele na primeira coluna.
Primeiro, vamos somar a primeira linha com a segunda para eliminar o R2 = R2 + R1 na segunda linha, primeira coluna:
1 & -2 & -5 & 2 & | & 0 0 & -1 & -10 & -2 & | & -10 2 & -3 & 0 & 6 & | & 10

Passo 4

Agora, queremos eliminar o 2 na terceira linha, primeira coluna. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da terceira linha:
R3 = R3 - 2 times R1
1 & -2 & -5 & 2 & | & 0 0 & -1 & -10 & -2 & | & -10 0 & 1 & 10 & 2 & | & 10

Passo 5

Observamos que a segunda e a terceira linhas são semelhantes. Vamos somar a segunda e a terceira linhas para simplificar:
R3 = R3 + R2
1 & -2 & -5 & 2 & | & 0 0 & -1 & -10 & -2 & | & -10 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Agora, a matriz está em forma escada. A terceira linha não adiciona nenhuma nova informação, então podemos ignorá-la para encontrar a solução.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é:
1 & -2 & -5 & 2 & | & 0 0 & -1 & -10 & -2 & | & -10 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
O conjunto solução do sistema é dado por:
x = 2y + 5z - 2t y = -10z - 2t + 10 z e t são parâmetros livres ãâ
Ou de forma paramétrica:
x = 2(-10z - 2t + 10) + 5z - 2t y = -10z - 2t + 10 z = z t = t
Simplificando x = -20z -4t + 20 + 5z -2t = -15z -6t + 20 :
x = -15z -6t + 20 y = -10z - 2t + 10 z = z t = t
Portanto, o conjunto solução é:
Onde e podem ser quaisquer números reais.

Exercícios relacionados

Determine os valores de k in R de modo que a matriz A=(ccc1 & -1 & -2 0 & k+3 & -11 0 & 1 & k-4) tenha determinante igual a 1. Considerando apenas um desses valores de k (a sua escolha), calcule A^-1.
Qual das transformações abaixo não é linear.
(a) T(x, y)=(x-y, 3 x,-2 y).
(b) T(x, y)=(x+y, x-y, 0).
© T(x, y)=(x, 2)
(d) T(x, y)=x
Considere as bases alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,-1),(0,1) do R^2, e a transformaçào linear T: R^2 longrightarrow R^2 tal que [T]de.
Determine T(x, y).
Considere os seguintes subespacos do R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3 mid z=2 x+y e W2=(a, a, 4 a) in R^3 mid a in R
Determine W1 cap W2 e a dimensão de W1+W2.