Considere as bases
e
do
, e a transformaçào linear
tal que
.
Mostre que
é um isomorfismo.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! Temos duas bases no
:
e
. Além disso, temos uma transformação linear
representada pela matriz
. O que a gente precisa fazer é mostrar que
é um isomorfismo. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de transformações lineares, isomorfismos e propriedades de matrizes, como a invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em termos simples, uma transformação linear
é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (não tem dois vetores diferentes que mapeiam para o mesmo vetor) e sobretora (todo vetor no espaço de chegada tem pelo menos um vetor que mapeia para ele). No caso de espaços vetoriais com a mesma dimensão, como
para
, isso significa que se a matriz que representa
for invertível, então
é um isomorfismo.
Passo 3
Então, o que precisamos fazer é verificar se a matriz
é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero (
), a matriz é invertível.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz:
Passo 5
O determinante que calculamos foi
, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz
é invertível. Portanto, a transformação linear
é um isomorfismo, já que atende aos critérios de ser bijetora.
Resposta
A transformação linear
é um isomorfismo, pois sua matriz representativa tem determinante
e, portanto, é invertível.
Exercícios relacionados
Considere o operador linear
. Determine o polinômio característico, o(s) autovalor(es) e o(s) autoespaço(s) de
.
Considere os seguintes subespacos do
:
Determine
e a dimensão de
.
Determinar base para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
;
Os pontos
e
são vértices de um triângulo equilátero, cujo lado mede 20. Calcule
.