Considere as bases alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,-1),(0,1) do R^2, e a transformaçào linear T: R^2 longrightarrow R^2 tal que [T]de.
Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! Temos duas bases no 0 & -1 -1 & 5 : e . Além disso, temos uma transformação linear representada pela matriz . O que a gente precisa fazer é mostrar que é um isomorfismo. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de transformações lineares, isomorfismos e propriedades de matrizes, como a invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em termos simples, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (não tem dois vetores diferentes que mapeiam para o mesmo vetor) e sobretora (todo vetor no espaço de chegada tem pelo menos um vetor que mapeia para ele). No caso de espaços vetoriais com a mesma dimensão, como para , isso significa que se a matriz que representa for invertível, então é um isomorfismo.

Passo 3

Então, o que precisamos fazer é verificar se a matriz 0 & -1 -1 & 5 é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz:
det( 0 & -1 -1 & 5 ) = (0 times 5) - (-1 times -1) = 0 - 1 = -1

Passo 5

O determinante que calculamos foi , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação linear é um isomorfismo, já que atende aos critérios de ser bijetora.

Resposta

A transformação linear é um isomorfismo, pois sua matriz representativa tem determinante e, portanto, é invertível.

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