Determinar base para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo: T: R^2 R, T(x, y)=y+2 x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar as bases para o núcleo e para a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre conceitos de transformação linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para zero por . Ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo resolvendo a equação y + 2x = 0 :
y = -2x
Isso nos dá uma relação entre e :
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como , onde é um número real.

Passo 4

Podemos escrever (x, -2x) = x cdot (1, -2) de forma vetorial:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor . Portanto, a base para o núcleo de é simplesmente o vetor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de Im(T) = T(x, y) mid (x, y) in R^2 , que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. A imagem de , denotada por , é:
Como , qualquer número real pode ser obtido variando e . Isso significa que a imagem de é todo o espaço .

Passo 6

Como a imagem de é , que é um espaço de dimensão 1, precisamos encontrar uma base para esse espaço. Uma base para é simplesmente o número 1. Portanto, podemos dizer que uma base para a imagem de é .

Resposta

A base para o núcleo de é e a base para a imagem de é .

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