Determinar base para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é encontrar as bases para o núcleo e para a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre conceitos de transformação linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para zero por
. Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo resolvendo a equação
:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como
, onde
é um número real.
Passo 4
Podemos escrever
de forma vetorial:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor
. Portanto, a base para o núcleo de
é simplesmente o vetor
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de
, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. A imagem de
, denotada por
, é:
Como
, qualquer número real pode ser obtido variando
e
. Isso significa que a imagem de
é todo o espaço
.
Passo 6
Como a imagem de
é
, que é um espaço de dimensão 1, precisamos encontrar uma base para esse espaço. Uma base para
é simplesmente o número 1. Portanto, podemos dizer que uma base para a imagem de
é
.
Resposta
A base para o núcleo de
é
e a base para a imagem de
é
.