Determinar base para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar as bases para o núcleo e para a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre conceitos de transformação linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para zero por . Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo resolvendo a equação :
Isso nos dá uma relação entre e :
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como , onde é um número real.
Passo 4
Podemos escrever de forma vetorial:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor . Portanto, a base para o núcleo de é simplesmente o vetor .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. A imagem de , denotada por , é:
Como , qualquer número real pode ser obtido variando e . Isso significa que a imagem de é todo o espaço .
Passo 6
Como a imagem de é , que é um espaço de dimensão 1, precisamos encontrar uma base para esse espaço. Uma base para é simplesmente o número 1. Portanto, podemos dizer que uma base para a imagem de é .
Resposta
A base para o núcleo de é e a base para a imagem de é .