Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero, cujo lado mede 20. Calcule A B cdot C A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo equilátero com lados medindo 20 unidades, e os vértices são os pontos , e . A gente precisa calcular o produto escalar dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar esse triângulo no plano cartesiano para facilitar os cálculos. Vamos posicionar o ponto na origem, ou seja, nas coordenadas .

Passo 3

Como o triângulo é equilátero e tem lado de 20 unidades, podemos posicionar o ponto no eixo , então as coordenadas de serão .

Passo 4

Agora, para encontrar as coordenadas do ponto h = raiz32 times lado = raiz32 times 20 = 10raiz3 , lembramos que, em um triângulo equilátero, a altura divide a base ao meio e forma um ângulo de 60 graus. A altura pode ser calculada usando a fórmula:
Então, as coordenadas de serão .

Passo 5

Agora, vamos determinar os vetores AB = (20 - 0, 0 - 0) = (20, 0) e CA = (0 - 10, 0 - 10raiz3) = (-10, -10raiz3) .
O vetor é obtido subtraindo as coordenadas de das de :
O vetor é obtido subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot v = ux times vx + uy times vy . A fórmula para o produto escalar de dois vetores AB cdot CA = (20) times (-10) + (0) times (-10raiz3) = -200 + 0 = -200 e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Resposta

O produto escalar é igual a .

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