Considere as bases B=(1,0,0),(0,2,2),(0,1,0) e C=(1,1,2),(1,2,0),(3,4,0) de R^3. Determine as matrizes de mudança de base de B para C - de C para B.

Passo 1

Beleza! Vamos determinar as matrizes de mudança de base entre as bases e de . Isso envolve entender como passar de uma base para a outra, usando conceitos de combinação linear e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores de cada base para facilitar a visualização:
Base b1 = 100, b2 = 022, b3 = 010 :
c1 = 112, c2 = 120, c3 = 340
Base :

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base de bi = a1ic1 + a2ic2 + a3ic3 para i = 1,2,3 para , precisamos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de . Isso significa encontrar coeficientes tais que:

Passo 4

Vamos começar com 1 = a11(1) + a21(1) + a31(3) 0 = a11(1) + a21(2) + a31(4) 0 = a11(2) + a21(0) + a31(0) . Queremos encontrar , e que satisfaçam:

Passo 5

Resolvendo o sistema para 0 = 2a11 Rightarrow a11 = 0 :
Da terceira equação:
1 = a21 + 3a31
Substituindo 0 = 2a21 + 4a31 na primeira equação:
2a21 + 4a31 = 0 Rightarrow a21 = -2a31
E na segunda equação:
1 = -2a31 + 3a31 Rightarrow a31 = 1
Resolvendo:
a21 = -2
Substituindo na primeira:
b1 = 0c1 - 2c2 + 1c3
Então,
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos para 0 = a12(1) + a22(1) + a32(3) 2 = a12(1) + a22(2) + a32(4) 2 = a12(2) + a22(0) + a32(0) . Buscamos 2 = 2a12 Rightarrow a12 = 1 , 0 = 1 + a22 + 3a32 Rightarrow a22 + 3a32 = -1 e 2 = 1 + 2a22 + 4a32 Rightarrow 2a22 + 4a32 = 1 :
a22 + 2a32 = 0.5
Da terceira equação:
a32 = -1.5 e a22 = 3.5
Substituindo b2 = 1c1 + 3.5c2 -1.5c3 na primeira equação:
E na segunda equação:
Simplificando:
Resolvendo:
Então:

Passo 7

Por fim, para 0 = a13(1) + a23(1) + a33(3) 1 = a13(1) + a23(2) + a33(4) 0 = a13(2) + a23(0) + a33(0) , encontramos 0 = 2a13 Rightarrow a13 = 0 , 0 = a23 + 3a33 e 1 = 2a23 + 4a33 :
a23 = -3a33
Da terceira equação:
1 = -6a33 + 4a33 Rightarrow -2a33 = 1 Rightarrow a33 = -0.5
Substituindo a23 = 1.5 na primeira equação:
b3 = 0c1 + 1.5c2 -0.5c3
E na segunda:
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto:

Passo 8

Agora, montamos a matriz de mudança de base de PB to C = 0 & 1 & 0 -2 & 3.5 & 1.5 1 & -1.5 & -0.5 para colocando os coeficientes encontrados como colunas:
Para encontrar a matriz de mudança de base de para , basta inverter a matriz .

Resposta

A matriz de mudança de base de PB to C = 0 & 1 & 0 -2 & 3.5 & 1.5 1 & -1.5 & -0.5 para PC to B = (PB to C)^-1 = ? & ? & ? ? & ? & ? ? & ? & ? é:
A matriz de mudança de base de para é a inversa de :
(Para completar, você pode calcular a inversa da matriz usando métodos como a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss.)

Exercícios relacionados

Sejam B, C, D, K, M pontos quaisquer no espaçø. Calcule a soma
K D+M C+D M+C K
Escreva em linguagem vetorial, com justificativa*: M é o ponto médio do segmento P Q.
(*) Neste curso, tudo que for afirmado deve ser justificado, excluído casos de evidência.
Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
Mostre que F é injetora.
Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y-z, 2 x-y+z).
Dar uma base e a dimensão de N(F);