Seja
a transformação linear dada por
.
Dar uma base e a dimensão de
;
Dar uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo da transformação linear
definida por
. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente estudando transformações lineares e seus núcleos (ou espaços nulos). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o núcleo de uma transformação linear, ou seja, todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo
é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfaçam
. Então, temos o sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação para simplificar. Somando as duas equações:
Passo 4
Com
, substituímos na primeira equação:
Então, temos que
. Isso significa que podemos expressar
em termos de
. Vamos chamar
, onde
é um parâmetro real.
Passo 5
Com
e
, e já sabendo que
, podemos escrever a solução geral do sistema como:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos escalares de
.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 1.
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear assim definido na base canônica por
Mostre que é injetora.
Mostre que
Considere as bases
e
de
. Determine as matrizes de mudança de base de
para
- de
para
.
Seja
a transformação linear dada por
.
Dar uma base e a dimensão de .
Dar uma base e a dimensão de
Questão 2 - (2,0): Seja
o operador linear assim definido na base canônica por
(a) - (1,0): Mostre que
é injetora.