Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y-z, 2 x-y+z).
Dar uma base e a dimensão de N(F);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo da transformação linear definida por . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente estudando transformações lineares e seus núcleos (ou espaços nulos). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o núcleo de uma transformação linear, ou seja, todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo x + y - z = 0 2x - y + z = 0 é o conjunto de todos os vetores em que satisfaçam . Então, temos o sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação para simplificar. Somando as duas equações:
(x + y - z) + (2x - y + z) = 0 + 0 3x = 0 x = 0

Passo 4

Com 0 + y - z = 0 y = z , substituímos na primeira equação:
Então, temos que . Isso significa que podemos expressar em termos de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.

Passo 5

Com (x, y, z) = (0, t, t) = t cdot (0, 1, 1) e , e já sabendo que , podemos escrever a solução geral do sistema como:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos escalares de .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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