Considere as bases
, e a base canônica
de
.
© Encontre as matrizes de mudança de base
.
© Encontre as matrizes de mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos matrizes de mudança de base entre duas bases específicas e a base canônica de
. O conteúdo principal aqui envolve mudança de base e representação de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como converter essas representações usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem duas bases,
e
, em um espaço vetorial. A matriz de mudança de base
nos permite transformar as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Matematicamente, se
é um vetor com coordenadas
na base
, então suas coordenadas na base
são dadas por:
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de
para
, ou seja,
. Para isso, precisamos das coordenadas dos vetores de
expressos na base
.
Entretanto, no enunciado não foi definido o que é
e
. Presumindo que
e
sejam outras bases específicas, ou possivelmente a base canônica
, vamos proceder considerando que
e
.
Passo 4
Assumindo que
e
, vamos encontrar as matrizes de mudança de base:
-
: de para . -
: de para . -
: de para . -
: de para .
Passo 5
Comecemos pela matriz
. Para isso, precisamos expressar os vetores da base
na base canônica
. Como
é a base padrão, as coordenadas dos vetores na base canônica são os próprios vetores.
Dados:
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar
. Similarmente, expressamos os vetores da base
na base canônica
.
Dados:
Portanto,
Passo 7
Para encontrar
, precisamos primeiro achar a matriz inversa de
, que é
, e então multiplicar por
.
Primeiro, calculamos a inversa de:
O determinante é
.
Assim,
Agora,
Passo 8
Finalmente, para
, usamos a mesma lógica: multiplicamos
pela inversa de
.
Primeiro, encontramos
. Como
é
, sua inversa será
multiplicada pela matriz adjunta. Calculando o determinante:
Então,
Multiplicando pela inversa de
:
Calculando os produtos:
Simplificando:
Resposta
As matrizes de mudança de base são:
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