Considere as bases , e a base canônica de .
© Encontre as matrizes de mudança de base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos matrizes de mudança de base entre duas bases específicas e a base canônica de . O conteúdo principal aqui envolve mudança de base e representação de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como converter essas representações usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem duas bases, e , em um espaço vetorial. A matriz de mudança de base nos permite transformar as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Matematicamente, se é um vetor com coordenadas na base , então suas coordenadas na base são dadas por:

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de para , ou seja, . Para isso, precisamos das coordenadas dos vetores de expressos na base .
Entretanto, no enunciado não foi definido o que é e . Presumindo que e sejam outras bases específicas, ou possivelmente a base canônica , vamos proceder considerando que e .

Passo 4

Assumindo que e , vamos encontrar as matrizes de mudança de base:
  1. : de para .
  2. : de para .
  3. : de para .
  4. : de para .

Passo 5

Comecemos pela matriz . Para isso, precisamos expressar os vetores da base na base canônica . Como é a base padrão, as coordenadas dos vetores na base canônica são os próprios vetores.
Dados:
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar . Similarmente, expressamos os vetores da base na base canônica .
Dados:
Portanto,

Passo 7

Para encontrar , precisamos primeiro achar a matriz inversa de , que é , e então multiplicar por .
Primeiro, calculamos a inversa de:
O determinante é .
Assim,
Agora,

Passo 8

Finalmente, para , usamos a mesma lógica: multiplicamos pela inversa de .
Primeiro, encontramos . Como é , sua inversa será multiplicada pela matriz adjunta. Calculando o determinante:
Então,
Multiplicando pela inversa de :
Calculando os produtos:
Simplificando:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:

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