Considere as bases B=(1,2),(-2,1), D=(-3,4),(12,9), e a base canônica C de R^2.
© Encontre as matrizes de mudança de base [M]B^B^prime,[M]D^D^prime,[M]D^B^prime e[M]B^D^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos matrizes de mudança de base entre duas bases específicas e a base canônica de . O conteúdo principal aqui envolve mudança de base e representação de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como converter essas representações usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem duas bases, [M]B^B' [v]B = [v]B' e , em um espaço vetorial. A matriz de mudança de base nos permite transformar as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Matematicamente, se é um vetor com coordenadas na base , então suas coordenadas na base são dadas por:

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de para , ou seja, . Para isso, precisamos das coordenadas dos vetores de expressos na base .
Entretanto, no enunciado não foi definido o que é e . Presumindo que e sejam outras bases específicas, ou possivelmente a base canônica , vamos proceder considerando que e .

Passo 4

Assumindo que e , vamos encontrar as matrizes de mudança de base:
  1. : de para .
  2. : de para .
  3. : de para .
  4. : de para .

Passo 5

Comecemos pela matriz B = (1, 2), (-2, 1) . Para isso, precisamos expressar os vetores da base [M]B^C = 1 & -2 2 & 1 na base canônica . Como é a base padrão, as coordenadas dos vetores na base canônica são os próprios vetores.
Dados:
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar D = (-3, 4), (12, 9) . Similarmente, expressamos os vetores da base [M]D^C = -3 & 12 4 & 9 na base canônica .
Dados:
Portanto,

Passo 7

Para encontrar [M]B^C = 1 & -2 2 & 1 , precisamos primeiro achar a matriz inversa de [M]C^B = 15 1 & 2 -2 & 1 , que é [M]D^B = [M]C^B cdot [M]D^C = 15 1 & 2 -2 & 1 -3 & 12 4 & 9 = 15 (1)(-3) + (2)(4) & (1)(12) + (2)(9) (-2)(-3) + (1)(4) & (-2)(12) + (1)(9) = 15 5 & 30 10 & -15 = 1 & 6 2 & -3 , e então multiplicar por .
Primeiro, calculamos a inversa de:
O determinante é .
Assim,
Agora,

Passo 8

Finalmente, para -3 & 12 4 & 9 , usamos a mesma lógica: multiplicamos det = (-3)(9) - (12)(4) = -27 - 48 = -75 pela inversa de [M]C^D = 1-75 9 & -12 -4 & -3 = -325 & 425 1675 & 125 .
Primeiro, encontramos [M]B^D = [M]C^D cdot [M]C^B = -325 & 425 1675 & 125 cdot 15 1 & 2 -2 & 1 . Como [M]B^D = -325 cdot 1 + 425 cdot (-2) & -325 cdot 2 + 425 cdot 1 1675 cdot 1 + 125 cdot (-2) & 1675 cdot 2 + 125 cdot 1 cdot 15 é [M]B^D = -325 - 825 & -625 + 425 1675 - 225 & 3275 + 125 cdot 15 = -1125 & -225 1475 & 3775 cdot 15 = -11125 & -2125 14375 & 37375 , sua inversa será multiplicada pela matriz adjunta. Calculando o determinante:
Então,
Multiplicando pela inversa de :
Calculando os produtos:
Simplificando:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[M]B^B' = 1 & -2 2 & 1 , [M]D^D' = -3 & 12 4 & 9 ,
[M]D^B' = 1 & 6 2 & -3 , [M]B^D' = -11125 & -2125 14375 & 37375

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