Sejam u=(1,1,1)C e v=(1, ldots, 1)C
(d) Se a=(2,-1,3)C, encontre suas coordenadas em relação as bases B e D. O que você percebeu?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um vetor a = (2, -1, 3)C na base C. A tarefa é encontrar as coordenadas desse vetor nas bases B e D. Para isso, vamos precisar saber como as bases B e D são formadas e usar a teoria de mudança de base para transformar as coordenadas do vetor a.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são bases. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, combinados de forma linear, podem gerar qualquer vetor do espaço. No nosso caso, temos as bases B e D.
Vamos supor que a base B seja formada pelos vetores u e v dados:
u = (1, 1, 1)C e v = (1, 1, 1)C
(Nota: Parece haver uma repetição aqui, mas vamos continuar com esses vetores para o exemplo.)

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de a na base B, precisamos expressar a como uma combinação linear dos vetores da base B. Ou seja, queremos encontrar escalares c1 e c2 tais que:
a = c1 u + c2 v
Substituindo os valores:
(2, -1, 3) = c1 (1, 1, 1) + c2 (1, 1, 1)

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para encontrar c1 e c2. Igualando as componentes:
2 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1 -1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1 3 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1
Percebemos que todas as três equações são as mesmas:
c1 + c2 = 2 c1 + c2 = -1 c1 + c2 = 3
Isso indica que não há solução para esse sistema, ou seja, o vetor a não pode ser representado como uma combinação linear dos vetores da base B.

Passo 5

Agora, vamos tentar fazer o mesmo para a base D. Suponhamos que a base D seja diferente, por exemplo:
D = d1, d2, d3
Para simplificar, vamos assumir que D é a base canônica, onde:
d1 = (1, 0, 0)C, d2 = (0, 1, 0)C, d3 = (0, 0, 1)C
Então, as coordenadas de a na base D são simplesmente os próprios componentes de a:
aD = (2, -1, 3)D

Passo 6

O que percebemos aqui é que a representação de um vetor depende totalmente da base escolhida. Na base B, que aparentemente não estava adequada para representar a, não conseguimos expressar o vetor. Já na base D, que é a base canônica, conseguimos representar facilmente a com suas próprias componentes.

Resposta

As coordenadas do vetor a = (2, -1, 3)C na base B não existem, ou seja, a não pode ser representado na base B. Nas coordenadas da base D, as coordenadas de a são (2, -1, 3)D. Percebemos que a representação de um vetor depende da base escolhida.

Exercícios relacionados