Sejam e
(d) Se , encontre suas coordenadas em relação as bases e . O que você percebeu?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um vetor na base . A tarefa é encontrar as coordenadas desse vetor nas bases e . Para isso, vamos precisar saber como as bases e são formadas e usar a teoria de mudança de base para transformar as coordenadas do vetor .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são bases. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, combinados de forma linear, podem gerar qualquer vetor do espaço. No nosso caso, temos as bases e .
Vamos supor que a base seja formada pelos vetores e dados:
(Nota: Parece haver uma repetição aqui, mas vamos continuar com esses vetores para o exemplo.)
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações para encontrar e . Igualando as componentes:
Percebemos que todas as três equações são as mesmas:
c1 + c2 = 2 c1 + c2 = -1 c1 + c2 = 3
Isso indica que não há solução para esse sistema, ou seja, o vetor a não pode ser representado como uma combinação linear dos vetores da base B.
Passo 5
Agora, vamos tentar fazer o mesmo para a base D. Suponhamos que a base D seja diferente, por exemplo:
D = d1, d2, d3
Para simplificar, vamos assumir que D é a base canônica, onde:
d1 = (1, 0, 0)C, d2 = (0, 1, 0)C, d3 = (0, 0, 1)C
Então, as coordenadas de a na base D são simplesmente os próprios componentes de a:
aD = (2, -1, 3)D
Passo 6
O que percebemos aqui é que a representação de um vetor depende totalmente da base escolhida. Na base B, que aparentemente não estava adequada para representar a, não conseguimos expressar o vetor. Já na base D, que é a base canônica, conseguimos representar facilmente a com suas próprias componentes.
Resposta
As coordenadas do vetor a = (2, -1, 3)C na base B não existem, ou seja, a não pode ser representado na base B. Nas coordenadas da base D, as coordenadas de a são (2, -1, 3)D. Percebemos que a representação de um vetor depende da base escolhida.