Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo: tal que .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar exemplos de transformações lineares onde o espaço nulo tem dimensão 1. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre núcleos e imagens de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para uma transformação linear , a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem deve ser igual à dimensão do espaço de entrada, que é 3. Isso é conhecido como o Teorema da Dimensão.
Como queremos que , então:
Isso significa que a imagem de deve ser um plano em .
Passo 3
Para criar exemplos de tais transformações, podemos representar por uma matriz de . A condição implica que a matriz deve ter posto 2, ou seja, duas linhas ou colunas linearmente independentes.
Passo 4
Vamos construir uma matriz com posto 2. Por exemplo:
Passo 5
Agora, vamos verificar o núcleo dessa matriz. Procuramos vetores x1 = 0 x2 = 0 x1 + x2 = 0 tais que N(T) = (0, 0, x3) mid x3 in R .
Daí, concluímos que e , mas pode ser qualquer número real. Logo, o núcleo é:
Isso mostra que , conforme desejado.
Passo 6
Outro exemplo de matriz com posto 2 é:
B = 2 & -1 & 0 4 & -2 & 0 1 & 1 & 1
Vamos verificar o núcleo:
2x1 - x2 = 0 4x1 - 2x2 = 0 x1 + x2 + x3 = 0
As duas primeiras equações são equivalentes, e da primeira temos x1 + 2x1 + x3 = 0 implies 3x1 + x3 = 0 implies x3 = -3x1 . Substituindo na terceira:
N(T) = (x1, 2x1, -3x1) mid x1 in R
Então, o núcleo é:
Novamente, .
Resposta
Dois exemplos de transformações lineares A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 com B = 2 & -1 & 0 4 & -2 & 0 1 & 1 & 1 são representadas pelas matrizes:
e
Ambas satisfazem a condição desejada de terem núcleo de dimensão 1.