Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (g) Se
é uma matriz triangular inferior, então
é uma matriz triangular superior.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
que é triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero (
para
). A pergunta quer que a gente mostre que a transposta dessa matriz, que chamaremos de
, é uma matriz triangular superior.
Passo 2
Vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas. Matemáticamente, cada elemento de
é dado por
.
Passo 3
Sabendo que
é triangular inferior, sabemos que
quando
. Isso significa que, na matriz
, todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar a matriz transposta
. Para verificar se
é triangular superior, precisamos mostrar que
quando
.
Usando a definição da transposta:
Como
é triangular inferior, sabemos que
quando
(ou seja, quando
). Portanto:
Passo 5
Isso significa que na matriz
, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, caracterizando uma matriz triangular superior.
Resposta
Portanto, se
é uma matriz triangular inferior, então sua transposta
é uma matriz triangular superior.