Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (g) Se A é uma matriz triangular inferior, então A^t é uma matriz triangular superior.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada que é triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero ( para ). A pergunta quer que a gente mostre que a transposta dessa matriz, que chamaremos de , é uma matriz triangular superior.

Passo 2

Vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Matemáticamente, cada elemento de é dado por .

Passo 3

Sabendo que é triangular inferior, sabemos que quando . Isso significa que, na matriz , todos os elementos acima da diagonal principal são zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar a matriz transposta (A^t)ij = aji . Para verificar se (A^t)ij = 0 quando i > j é triangular superior, precisamos mostrar que quando .
Usando a definição da transposta:
Como é triangular inferior, sabemos que quando (ou seja, quando ). Portanto:

Passo 5

Isso significa que na matriz , todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, caracterizando uma matriz triangular superior.

Resposta

Portanto, se é uma matriz triangular inferior, então sua transposta é uma matriz triangular superior.

Exercícios relacionados