Determinar as matrizes de mudança de para de para .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases de :
Base B: (a base padrão).
Base C: , onde:
A questão quer que a gente encontre as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B. Isso significa que precisamos descobrir como converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de B para C. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base C em termos dos vetores da base B.
Sabemos que:
Essas expressões nos mostram as coordenadas de , e na base B.
Passo 3
Para construir a matriz de mudança de base de B para C, colocamos as coordenadas dos vetores de C como colunas na matriz. Assim:
Cada coluna corresponde às coordenadas de , e na base B.
Passo 4
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de C para B, precisamos de uma matriz que reversa o processo. Em termos matemáticos, essa matriz é a inversa da matriz de mudança de B para C.
Então, vamos calcular a inversa da matriz que encontramos no Passo 3.
ç
Passo 5
Calculando a inversa dessa matriz:
Primeiro, calculamos o determinante da matriz:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível.
Agora, encontramos a matriz dos cofatores, transponemos e dividimos pelo determinante (-1):