Considere as bases e de assim relacionadas:
Determinar as matrizes de mudança de para de para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases de :
  • Base B: (a base padrão).
  • Base C: , onde:
A questão quer que a gente encontre as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B. Isso significa que precisamos descobrir como converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de B para C. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base C em termos dos vetores da base B.
Sabemos que:
Essas expressões nos mostram as coordenadas de , e na base B.

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base de B para C, colocamos as coordenadas dos vetores de C como colunas na matriz. Assim:
ç
Cada coluna corresponde às coordenadas de , e na base B.

Passo 4

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de C para B, precisamos de uma matriz que reversa o processo. Em termos matemáticos, essa matriz é a inversa da matriz de mudança de B para C.
Então, vamos calcular a inversa da matriz que encontramos no Passo 3.
ç

Passo 5

Calculando a inversa dessa matriz:
Primeiro, calculamos o determinante da matriz:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível.
Agora, encontramos a matriz dos cofatores, transponemos e dividimos pelo determinante (-1):

Resposta

As matrizes de mudança de base são:

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Sejam a base canônica de a base dada por e .
(a) Encontre a matriz de transição por inspeção.
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