Considere as bases B=e1, e2, e3 e C=g1, g2, g3 de R^3 assim relacionadas:
& g1=e1-e2-e3 & g2=r 2 e2+3 e3 & g3=3 e1+e3
Determinar as matrizes de mudança de B para Ce de C para B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases de g1 &= e1 - e2 - e3 g2 &= 2 e2 + 3 e3 g3 &= 3 e1 + e3 :
  • Base B: (a base padrão).
  • Base C: , onde:
A questão quer que a gente encontre as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B. Isso significa que precisamos descobrir como converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de B para C. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base C em termos dos vetores da base B.
Sabemos que:
g1 &= e1 - e2 - e3 g2 &= 2 e2 + 3 e3 g3 &= 3 e1 + e3
Essas expressões nos mostram as coordenadas de , e na base B.

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base de B para C, colocamos as coordenadas dos vetores de C como colunas na matriz. Assim:
Matriz de mudança de B para C = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 ç
Cada coluna corresponde às coordenadas de , e na base B.

Passo 4

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de C para B, precisamos de uma matriz que reversa o processo. Em termos matemáticos, essa matriz é a inversa da matriz de mudança de B para C.
Então, vamos calcular a inversa da matriz que encontramos no Passo 3.
Matriz de mudança de C para B = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 ^-1 ç

Passo 5

Calculando a inversa dessa matriz:
Primeiro, calculamos o determinante da matriz:
det = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 3) - 0 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot -1) + 3 cdot (-1 cdot 3 - 2 cdot -1) = 1 cdot 2 - 0 + 3 cdot (-3 + 2) = 2 + 0 - 3 = -1
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível.
Agora, encontramos a matriz dos cofatores, transponemos e dividimos pelo determinante (-1):
Matriz inversa = 1-1 2 & 1 & 3 3 & 1 & -3 3 & -1 & 2 = -2 & -1 & -3 -3 & -1 & 3 -3 & 1 & -2

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
De B para C = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 , De C para B = -2 & -1 & -3 -3 & -1 & 3 -3 & 1 & -2

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