Sejam S a base canônica de R^3 e B=v1, v2, v3 a base dada por v1=(1,2,1), v2=(2,5,0) e v3=(3,3,8).
(a) Encontre a matriz de transição PB S por inspeção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases aqui no R^3: a base canônica S e a base B formada pelos vetores v1 = (1,2,1), v2 = (2,5,0) e v3 = (3,3,8). Nosso objetivo é encontrar a matriz de transição PB S, que vai ajudar a converter coordenadas de B para S. Para isso, vamos precisar saber como as bases estão relacionadas e como construir a matriz de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Basicamente, ela serve para mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter as coordenadas de um vetor que está na base B para a base canônica S. Para fazer isso, vamos usar os vetores de B expressos na base S.

Passo 3

Como a base S é a base canônica, os vetores da base B já estão expressos diretamente nas coordenadas de S. Ou seja, os componentes de v1, v2 e v3 são exatamente as coordenadas desses vetores na base S.

Passo 4

Agora, para construir a matriz de transição PB S, a gente coloca cada um dos vetores de B como colunas dessa matriz. Então, a primeira coluna vai ser v1, a segunda v2 e a terceira v3.

Passo 5

Vamos montar a matriz:
PB S = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8

Resposta

A matriz de transição PB S é:
PB S = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8

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