Considere as bases e de relacionadas pelas seguintes equações:
(a) Determine as matrizes de mudança de base de para e de para .
(b) Se um vetor tem coordenadas em relação à base , quais são as coordenadas de em relação à base ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases no espaço tridimensional, e , e nos pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre elas. Além disso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são matrizes de mudança de base. Se temos duas bases, e , a matriz de mudança de base de para , , nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor expressas na base para as coordenadas na base . De forma similar, faz o caminho contrário.

Passo 3

Para encontrar , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . As relações dadas são:
Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes de para cada .

Passo 4

Vamos montar a matriz usando os coeficientes das expressões acima:
Aqui, cada coluna corresponde a expressos em termos de .

Passo 5

Agora, para encontrar , que é a matriz de mudança de base de para , precisamos inverter a matriz . Isso porque mudar de base para a base original é a operação inversa.

Passo 6

Vamos calcular a inversa de . Calculando a inversa de uma matriz 3x3 pode ser trabalhoso, mas seguindo os passos padrão de álgebra linear, obtemos:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos um vetor com coordenadas na base , e queremos encontrar suas coordenadas na base . Para isso, usamos a matriz de mudança de base .

Passo 8

Multiplicamos a matriz pelas coordenadas de na base :
$$

$$

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 2. Sejam e duas bases de .
(a) Encontre a matriz de mudança de base , que transforma as coordenadas de um polinômio de para , e a matriz inversa .
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio em relação à base .
Seja uma base de . Encontre uma base de tal que a matriz de mudança de base seja dada por:
Seja um grupo e . Prove que: .
Considere os subespaços de definidos por
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) ,
(b) .