Considere as bases B=e1, e2, e3 e C=g1, g2, g3 de R^3 relacionadas pelas seguintes equações:
g1=e1-e3, g2=2 e2+3 e3, g3=3 e1+e3
(a) Determine as matrizes de mudança de base de B para C(PC B) e de C para B(PB C).
(b) Se um vetor u in R^3 tem coordenadas (1,2,3) em relação à base B, quais são as coordenadas de u em relação à base C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases no espaço tridimensional, B e C, e nos pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre elas. Além disso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são matrizes de mudança de base. Se temos duas bases, B e C, a matriz de mudança de base de B para C, PC B, nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor expressas na base B para as coordenadas na base C. De forma similar, PB C faz o caminho contrário.

Passo 3

Para encontrar PC B, precisamos expressar cada vetor da base C em termos da base B. As relações dadas são:
g1 = e1 - e3, g2 = 2e2 + 3e3, g3 = 3e1 + e3
Cada coluna da matriz PC B será composta pelos coeficientes de e1, e2, e3 para cada gi.

Passo 4

Vamos montar a matriz PC B usando os coeficientes das expressões acima:
PC B = 1 & 0 & 3 0 & 2 & 0 -1 & 3 & 1
Aqui, cada coluna corresponde a g1, g2, g3 expressos em termos de e1, e2, e3.

Passo 5

Agora, para encontrar PB C, que é a matriz de mudança de base de C para B, precisamos inverter a matriz PC B. Isso porque mudar de base para a base original é a operação inversa.

Passo 6

Vamos calcular a inversa de PC B. Calculando a inversa de uma matriz 3x3 pode ser trabalhoso, mas seguindo os passos padrão de álgebra linear, obtemos:
PB C = 11 & 0 & -31 0 & 12 & 0 11 & -32 & 11 = 1 & 0 & -3 0 & 12 & 0 1 & -32 & 1

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos um vetor u com coordenadas (1,2,3) na base B, e queremos encontrar suas coordenadas na base C. Para isso, usamos a matriz de mudança de base PC B.

Passo 8

Multiplicamos a matriz PC B pelas coordenadas de u na base B:
$$
1 & 0 & 3 0 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 1 2 3 = 1*1 + 0*2 + 3*3 0*1 + 2*2 + 0*3 -1*1 + 3*2 + 1*3 = 1 + 0 + 9 0 + 4 + 0 -1 + 6 + 3 = 10 4 8

$$

Resposta

As coordenadas do vetor u na base C são (10,,4,,8).

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