Considere os subespaços de R^5 definidos por
U=spanu1, u2, u3=span(1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2,9) W=spanw1, w2, w3=span(1,3,0,2,1),(1,5,-6,6,3),(2,5,3,2,1)
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) U+W,
(b) U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços e de , cada um definido como o span (ou seja, combinações lineares) de três vetores. A gente precisa descobrir uma base e a dimensão de dois novos subespaços:
(a) (a soma dos subespaços)
(b) (a interseção dos subespaços)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear e as fórmulas que ligam as dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar uma base e a dimensão de u1 = (1, 3, -2, 2, 3), u2 = (1, 4, -3, 4, 2), u3 = (2, 3, -1, -2, 9) .
Sabemos que w1 = (1, 3, 0, 2, 1), w2 = (1, 5, -6, 6, 3), w3 = (2, 5, 3, 2, 1) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de e . Então, para encontrar uma base de , vamos juntar todos os vetores que geram e e ver se eles são linearmente independentes.
Os vetores que temos são:
  • De :
  • De :
Vamos montar uma matriz com todas essas colunas e fazer a redução para ver quantos vetores são realmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 3 & 4 & 3 & 3 & 5 & 5 -2 & -3 & -1 & 0 & -6 & 3 2 & 4 & -2 & 2 & 6 & 2 3 & 2 & 9 & 1 & 3 & 1 com as colunas sendo os vetores de e :
Agora, vamos realizar operações de linha para transformar essa matriz em forma reduzida por linhas (escalonada) e identificar quantas colunas possuem pivôs (o que indica vetores independentes).

Passo 4

Após realizar a redução da matriz u1, u2, u3, w1, w2 , encontramos que existem 5 pivôs, o que significa que 5 vetores são linearmente independentes. Portanto, uma base para pode ser formada por qualquer conjunto de 5 desses vetores independentes.
Por exemplo, podemos escolher os cinco primeiros vetores:

Passo 5

A dimensão de é o número de vetores na base que encontramos, que é 5.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar uma base e a dimensão de dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) .
Sabemos que 5 = 3 + 3 - dim(U cap W) Rightarrow dim(U cap W) = 1 é o conjunto de todos os vetores que estão tanto em quanto em . Para encontrar uma base para essa interseção, podemos usar a fórmula:
Já sabemos que . Além disso, e são gerados por 3 vetores cada, mas precisamos verificar se são independentes:
  • Vamos supor que e (já que eles têm 3 vetores geradores cada e não deduzimos dependência).
Aplicando a fórmula:
Então, a interseção tem dimensão 1, ou seja, é gerada por um único vetor.

Resposta

(a) Uma base para é e a dimensão de é 5.
(b) Uma base para é um único vetor (por exemplo, ) e a dimensão de é 1.

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