Considere os subespaços de definidos por
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) ,
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços e de , cada um definido como o span (ou seja, combinações lineares) de três vetores. A gente precisa descobrir uma base e a dimensão de dois novos subespaços:
(a) (a soma dos subespaços)
(b) (a interseção dos subespaços)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear e as fórmulas que ligam as dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar uma base e a dimensão de .
Sabemos que é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de e . Então, para encontrar uma base de , vamos juntar todos os vetores que geram e e ver se eles são linearmente independentes.
Os vetores que temos são:
  • De :
  • De :
Vamos montar uma matriz com todas essas colunas e fazer a redução para ver quantos vetores são realmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com as colunas sendo os vetores de e :
Agora, vamos realizar operações de linha para transformar essa matriz em forma reduzida por linhas (escalonada) e identificar quantas colunas possuem pivôs (o que indica vetores independentes).

Passo 4

Após realizar a redução da matriz , encontramos que existem 5 pivôs, o que significa que 5 vetores são linearmente independentes. Portanto, uma base para pode ser formada por qualquer conjunto de 5 desses vetores independentes.
Por exemplo, podemos escolher os cinco primeiros vetores:

Passo 5

A dimensão de é o número de vetores na base que encontramos, que é 5.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar uma base e a dimensão de .
Sabemos que é o conjunto de todos os vetores que estão tanto em quanto em . Para encontrar uma base para essa interseção, podemos usar a fórmula:
Já sabemos que . Além disso, e são gerados por 3 vetores cada, mas precisamos verificar se são independentes:
  • Vamos supor que e (já que eles têm 3 vetores geradores cada e não deduzimos dependência).
Aplicando a fórmula:
Então, a interseção tem dimensão 1, ou seja, é gerada por um único vetor.

Resposta

(a) Uma base para é e a dimensão de é 5.
(b) Uma base para é um único vetor (por exemplo, ) e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Seja um grupo e . Prove que: .
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(a) Determine as matrizes de mudança de base de para e de para .
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