Considere o espaço vetorial P2(R) dos polinômios de grau no máximo 2. Sejam B=x+x^2, 1+x^2, 1+x e C=1, x, x^2 duas bases de P2(R).
(a) Encontre a matriz de mudança de base PC B, que transforma as coordenadas de um polinômio de B para C, e a matriz inversa PB C.
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio 2+7 x+x^2 em relação à base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de espaços vetoriais, especificamente do espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . A gente tem duas bases diferentes para esse espaço: e . O que precisamos fazer na parte (a) é encontrar a matriz que faz a “troca de base” de para , ou seja, a matriz . Além disso, vamos precisar achar a matriz inversa dessa mudança, que é . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas de vetores em diferentes bases e como representar essas mudanças com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base . Essa matriz serve para transformar as coordenadas de um polinômio que está expresso na base para a base . Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .

Passo 3

Vamos começar escrevendo cada elemento da base como combinação linear dos elementos da base . Ou seja, para cada polinômio em , vamos encontrar os coeficientes que multiplicam , e da base .

Passo 4

Primeiro, peguemos o primeiro vetor de 0 1 1 : . Queremos escrever isso como . Comparando, vemos que , e . Então, as coordenadas de na base são .

Passo 5

Agora, o segundo vetor de 1 0 1 : . Escrevendo como , temos , e . Portanto, as coordenadas são .

Passo 6

O terceiro vetor de 1 1 0 : . Igualando a , temos , e . As coordenadas são .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de PC B = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz é formada colocando essas coordenadas como colunas:

Passo 8

Agora, para encontrar a matriz inversa , precisamos calcular a inversa de . Vamos chamar de para facilitar. Então, precisamos achar .

Passo 9

Calculando a inversa de uma matriz 3x3 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos seguir os passos. Primeiro, encontramos o determinante de det(A) = 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0 - 1 cdot (-1) + 1 cdot (1) = 0 + 1 + 1 = 2 :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 10

Para achar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula que envolve a matriz adjunta e o determinante:
Primeiro, encontramos a matriz adjunta de .

Passo 11

Calculando os cofatores de adj(A) = C11 & C21 & C31 C12 & C22 & C32 C13 & C23 & C33 :
adj(A) = -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1
Após calcular os cofatores, obtemos:

Passo 12

Agora, multiplicamos a adjunta pelo A^-1 = 12 cdot -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 = -0.5 & 0.5 & 0.5 0.5 & -0.5 & 0.5 0.5 & 0.5 & -0.5 :
Portanto, essa é a matriz inversa .

Resposta

A matriz de mudança de base de PC B = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 para PB C = -0.5 & 0.5 & 0.5 0.5 & -0.5 & 0.5 0.5 & 0.5 & -0.5 é:
E a matriz inversa, que faz a mudança de para , é:

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