Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 2. Sejam e duas bases de .
(a) Encontre a matriz de mudança de base , que transforma as coordenadas de um polinômio de para , e a matriz inversa .
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de espaços vetoriais, especificamente do espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . A gente tem duas bases diferentes para esse espaço: e . O que precisamos fazer na parte (a) é encontrar a matriz que faz a “troca de base” de para , ou seja, a matriz . Além disso, vamos precisar achar a matriz inversa dessa mudança, que é . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas de vetores em diferentes bases e como representar essas mudanças com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base . Essa matriz serve para transformar as coordenadas de um polinômio que está expresso na base para a base . Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Passo 3
Vamos começar escrevendo cada elemento da base como combinação linear dos elementos da base . Ou seja, para cada polinômio em , vamos encontrar os coeficientes que multiplicam , e da base .
Passo 4
Primeiro, peguemos o primeiro vetor de : . Queremos escrever isso como . Comparando, vemos que , e . Então, as coordenadas de na base são .
Passo 5
Agora, o segundo vetor de : . Escrevendo como , temos , e . Portanto, as coordenadas são .
Passo 6
O terceiro vetor de : . Igualando a , temos , e . As coordenadas são .
Passo 7
Agora que temos as coordenadas de cada vetor de na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz é formada colocando essas coordenadas como colunas:
Passo 8
Agora, para encontrar a matriz inversa , precisamos calcular a inversa de . Vamos chamar de para facilitar. Então, precisamos achar .
Passo 9
Calculando a inversa de uma matriz 3x3 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos seguir os passos. Primeiro, encontramos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 10
Para achar a matriz inversa , usamos a fórmula que envolve a matriz adjunta e o determinante:
Primeiro, encontramos a matriz adjunta de .
Passo 11
Calculando os cofatores de :
Após calcular os cofatores, obtemos:
Passo 12
Agora, multiplicamos a adjunta pelo :
Portanto, essa é a matriz inversa .
Resposta
A matriz de mudança de base de para é:
E a matriz inversa, que faz a mudança de para , é: